![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Числовая последовательности и ее предел.
- •2.Способы задания функции.
- •1. Аналитический способ
- •2. Табличный способ
- •3. Графический способ
- •3.Предел функции. Односторонние пределы.
- •Левый и правый пределы функции
- •4.Первый замечательный предел.
- •7.Производная. Геометрический и механический смысл производной
- •8.Таблица производных и правила дифференцирования
- •9.Возрастание и убывание функции
- •Точки экстремума, экстремумы функции.
- •Достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума функции.
- •Первое достаточное условие экстремума.
- •Второй признак экстремума функции.
- •Третье достаточное условие экстремума функции.
- •10. Экстремумы функции Определение экстремума
- •Точки экстремума
- •Задачи на нахождения экстремума функции
- •11.Производные высших порядков. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора
- •Определённый интеграл
- •13. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.
- •15.Признак сходимости Даламбера и Коши
- •17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд Тейлора
- •Определение
- •Формула Тейлора для большого числа переменных
- •19.Частная производная
- •Обозначение
- •Геометрическая интерпретация
- •Примеры
- •21.Дифференциальное уравнение
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Порядок дифференциального уравнения
- •Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- •Примеры
Определённый интеграл
Определение
определённого интеграла. Пусть на
отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём
отрезок [a,b] произвольным образом на n
частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 ,xi], …,
[xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим :
;
максимальную из длин отрезков обозначим
.
На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем
произвольную точку
и
составим сумму
.
Сумма
называется
интегральной суммой. Если существует
(конечный) предел последовательности
интегральных сумм
при
,
не зависящий ни от способа разбиения
отрезка [a,b]на части [xi-1 , xi], ни от выбора
точек
,
то функция f(x) называется интегрируемой
по отрезку [a,b], а этот предел называется
определённым интегралом от функции
f(x) по отрезку [a,b] и обозначается
.
Функция
f(x), как и в случае неопределённого
интеграла, называется подынтегральной,
числа a и b - соответственно, нижним и
верхним пределами интегрирования.
Кратко
определение иногда записывают так:
.
В
этом определении предполагается, что
b> a. Для других случаев примем, тоже по
определению:
Если
b=a, то
;
еслиb<a, то
.
Свойства
определённого интеграла.
1.
Линейность. Если функции f(x), g(x) интегрируемы
по отрезку [a,b] , то по этому отрезку
интегрируема их линейная комбинация A
f(x) + B g(x) (A, B = const), и
.
2.
Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема
по отрезку [a,b] и точка c принадлежит
этому отрезку, то
.
При
формулировании следующих свойств
предполагаем, что b > a.
3.
Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1).
Если f(x) = 1, то
.
Вычисление
определённого интеграла.
Формула
Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна
на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая
первообразная функции ,
то
.
Пример
применения формулы Ньютона-Лейбница:
.
Формула
интегрирования по частям для определённого
интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно
дифференцируемые функции, то
Пример:
.
13. Геометрический смысл определенного интеграла.
Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).
Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z1, z2, ..., zN. Составим для f(x) интегральную сумму σ.
Пусть из точек ξ0, ξ1, ..., ξn-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(zi) | (i = 1, 2, ...,N) есть K, то, очевидно,
| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,
откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл
существует и равен нулю.
Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:
Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл
не существует.
В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.