![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Числовая последовательности и ее предел.
- •2.Способы задания функции.
- •1. Аналитический способ
- •2. Табличный способ
- •3. Графический способ
- •3.Предел функции. Односторонние пределы.
- •Левый и правый пределы функции
- •4.Первый замечательный предел.
- •7.Производная. Геометрический и механический смысл производной
- •8.Таблица производных и правила дифференцирования
- •9.Возрастание и убывание функции
- •Точки экстремума, экстремумы функции.
- •Достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума функции.
- •Первое достаточное условие экстремума.
- •Второй признак экстремума функции.
- •Третье достаточное условие экстремума функции.
- •10. Экстремумы функции Определение экстремума
- •Точки экстремума
- •Задачи на нахождения экстремума функции
- •11.Производные высших порядков. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора
- •Определённый интеграл
- •13. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.
- •15.Признак сходимости Даламбера и Коши
- •17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд Тейлора
- •Определение
- •Формула Тейлора для большого числа переменных
- •19.Частная производная
- •Обозначение
- •Геометрическая интерпретация
- •Примеры
- •21.Дифференциальное уравнение
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Порядок дифференциального уравнения
- •Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- •Примеры
17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд Тейлора
Начнем
подходить к теме с воспоминаний. Как мы
помним, любой числовой ряд может или
сходиться, или расходиться. Если числовой
ряд сходится,
то это значит, что сумма его членов равна
некоторому конечному
числу:
На
уроке Степенные
ряды. Область сходимости ряда мы
рассматривали уже не числовые, а
функциональные и степенные ряды. Возьмём
тот самый подопытный степенной ряд,
который всем понравился: .
В ходе исследования было установлено,
что этот ряд сходится при
.
Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ,
то к чему же сходятся функциональные и
степенные ряды? Правильно подумали.
Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ.
В частности, суммой ряда
в
его области сходимости
является
некоторая функция
:
Еще
раз подчеркиваю, что данный факт
справедлив только для найденной
области ,
вне этого промежутка степенной ряд
будет
расходиться.
Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:
Область
сходимости ряда:
(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
Теперь
вспоминаем школьный график синуса :
Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….
Теперь
фишка. Если начертить график бесконечного
многочлена ,
то получится… та же самая синусоида!
То есть, наш степенной ряд
сходится
к функции
.
Используя признак Даламбера (см.
статью Степенные
ряды. Область сходимости ряда),
легко проверить, что ряд
сходится
при любом «икс»:
(собственно,
поэтому в таблице разложений и появилась
такая запись об области сходимости).
А
что значит вообще «сходится»? По
смыслу глагола – что-то куда-то идёт.
Если я возьму первые три члена ряда и
начерчу график многочлена пятой степени,
то он лишь отдаленно будет напоминать
синусоиду. А вот если составить многочлен
из первых ста членов ряда:
и
начертить его график, то он будет с
синусоидой практически совпадать. Чем
больше членов ряда – тем лучше приближение.
И, как уже отмечалось, график бесконечного
многочлена – есть в точности синусоида.
Иными словами, ряд
сходится
к функции
при
любом значении «икс».
Рассмотрим
более печальный пример, табличное
разложение арктангенса:
Область
сходимости ряда:
Печаль
заключается в том факте, что график
бесконечного многочлена совпадает
с графиком арктангенса
только
на отрезке
(т.е.
в области сходимости ряда):
Вне
отрезка разложение
арктангенса в ряд
расходится,
а график бесконечного многочлена
пускается во все тяжкие и уходит на
бесконечность.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора— его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Определение
Пусть
функция бесконечно
дифференцируема в некоторой окрестности точки
.
Формальный ряд
называется
рядом Тейлора функции в
точке
.
То
есть, рядом Тейлора для функции в
окрестности точки
называется
степенной ряд относительно двучлена
вида
Связанные определения
В случае, если
, этот ряд также называется рядом Маклорена.
Свойства
Если
есть аналитическая функция в любой точке
, то её ряд Тейлора в любой точке
области определения
сходится к
в некоторой окрестности
.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
. Коши предложил такой пример:
У
этой функции все производные в нуле
равны нулю, поэтому коэффициенты ряда
Тейлора в точке равны
нулю.
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
тогда: |
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В интегральной форме:
Ослабим предположения:
Пусть функция
имеет
производную в некоторой окрестности точки
И
производную в самой точке
, тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть
функция имеет
полные производные вплоть до
-го
порядка включительно в некоторой
окрестности точки
.
Введём дифференциальный оператор
.
Тогда
разложением в ряд Тейлора функции по
степеням
и
в
окрестности точки
будет
где —
остаточный член в форме Лагранжа:
В
случае функции одной переменной ,
поскольку для функции одной переменной
частная производная тождественно равна
полной. Аналогично формула распространяется
на функции от любого числа переменных,
меняется только число слагаемых в
операторе
.