14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.

  Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+... ,

(1)

содержащее неограниченное число членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.   Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

  Если же при n сумма S_n не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.    Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии

a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...,

(2)

где

-1 < q < 1

  Действительно, для этого ряда

Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =

  При n   qⁿ0 (так как | q |<1), поэтому

и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать

= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ... .

  Если q = 1, то ряд (2) имеет вид

a + a + a + a + ... + a + ... .

(3)

  Сумма S_n первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.   Если q = -1, то ряд (2) примет вид

a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... .

(4)

  Ясно, что для этого ряда

S_2n=0 ,   S_2n-1=a.

т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.   Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S_2n так и S_2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.   Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся. 

15.Признак сходимости Даламбера и Коши

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос: Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда: 1) В знаменателе находится многочлен. 2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе. 3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , ,  и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку: ……

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к урокуПределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность  дальше, к сожалению, не продвинуться.

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень  «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

16.  Несобственные интегралы

Определенный интеграл ∫abf(x)dx называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b]. Бесконечные пределы интегрирования Пусть f(x) является непрерывной функцией в интервале [a,∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: ∫a∞f(x)dx=limn→∞∫anf(x)dx. Рассмотрим также случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (−∞,b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как ∫−∞bf(x)dx=limn→−∞∫nbf(x)dx. Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f(x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение ∫−∞∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c∞f(x)dx. Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл ∫−∞∞f(x)dx также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f(x) и g(x) является непрерывными функциями в интервале [a,∞). Предположим, что 0≤g(x)≤f(x) для всех x в интервале [a,∞). Тогда справедливы следующие утверждения: Если ∫a∞f(x)dx сходится, то ∫a∞g(x)dx также сходится; Если ∫a∞g(x)dx расходится, то ∫a∞f(x)dx также расходится; Если ∫a∞|f(x)|dx сходится, то ∫a∞f(x)dx также сходится. В этом случае говорят, что интеграл ∫a∞f(x)dx является абсолютно сходящимся. Интеграл от разрывной функции Пусть функция f(x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x=b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде ∫abf(x)dx=limτ→0+∫ab−τf(x)dx. Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x=a. Тогда ∫abf(x)dx=limτ→0+∫a+τbf(x)dx. Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.  Пусть f(x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки c∈(a,b). Тогда справедливо соотношение ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx, и говорят, что несобственный интеграл ∫abf(x)dx сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.