Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вышмат.docx

Скачиваний:

721

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

935.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

19.Частная производная

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:

Обозначение

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . ^[1].

Геометрическая интерпретация

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.

Примеры

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

Частная производная объема V относительно радиуса r

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объёма конуса на .

Частная производная относительно h

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

Это даёт полную производную относительно r:

20. Экстремум функции двух переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M₀ - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C₀ находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C₀, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C₀.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀ на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀)D. Причем M₀ - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум: