Московский_государственный_технический_университет

Q

P

Pdx Qdy

x

dxdy .

L

y

a 3x2 y3 z3i 3z3 x3 y2

2y j

3x3 y3z2 2z k .

Решение. По формуле (15.8) имеем:

i

j

k

rot a

x

y

z

3x2 y3 z3

3x3 y2 z3 2 y

3x3 y3 z2 2z

9x2 y2 z3 9x2 y2 z3

9x3 y2 z2 9x3 y2 z2 i

j 9x2 y2 z3

9x2 y2 z

3

k

0

Ответ: данное поле является потенциальным, т.к. rot a 0. .

Пример 15.4. Вычислим циркуляцию векторного поля

a 3x

y z i

2x 4y z j

5z 3y k

Ц

a, dr

3x y z dx 2x 4y z dy 5z 3y dz

(см.

ABCA

L

AB

BC

CA

x 1

y 1

z

y x

dy dx

AB 1,1, 2 AB :

;

.

1

1

2

z 2x 2

dz

2dx

x

y

z 2

y 0

dy 0

BC 3,0, 1 AB :

;

1

3 0

x 3z 6

dz 3dz

x 1

y 1

z

x 2t 1

dx 2dt

AC 2,

1,1 AC :

t y t 1;

dy dt .

2

1

1

z t

dz dt

0

22x 20 dx 9

AB

1

1

29

29z 54 dz

Ц 9.

4

Просуммировав, получим ответ:

2

BC

2

AB BC CA

0

19

19t 1 dt

2 1

CA

1

ds . (см.

Ц rot a, n0

(15.11)). В

качестве

поверхности

σ, на которой

располагается заданный контур,

выберем плоскость

треугольника ABC.

Тогда

Единичный вектор

нормали,

составляющий

n

BA BC 1, 5, 3 .

1

n

1, 5, 3 .

острые углы с осями координат: n0

n

35

по формуле (15.8) и скалярное произведение:

4,1,3 ,

Найдѐм rot a

rot a

1

18

rota, n0

4 5 9

.

35

35

18

18

18

1

9

Получим

Ц rot a, n0

ds

ds

S ABC

BA BC

35 9 ,

2

35

35

35

35

Ц rot a, n0 ds

rota

n0 cos ds

27 cos ds , где – угол между

векторами

rot a

и n0 .

Цmax

3

27ds

27 S ABC

rot a

n0

. В этом случае

105 .

2

(набла):

i

j

k

или

;

;

.

x

y

z

x

y

z

1)

Умножая вектор

на скалярную функцию U x, y, z , получим grad U :

U

U

U

U

i

j

k U

i

j

k

grad U .

x

y

z

x

y

z

P; Q; R даѐт:

2)

Скалярное произведение вектора на вектор-функцию a

div a

, a

P

Q

R div a .

y

z

x

вычисления дивергенции и ротора,

а к полю div a - операция вычисления

градиента. Таким образом, получим пять повторных операций:

,

div gradU , rot grad U

, div rot a

rot rot a

, grad div a .

Определение.

Операция

называется

оператором

Лапласа и

div grad U

U . Оператор Лапласа

обозначается

символом

(лапласиан): div grad U

можно записать с помощью оператора набла :

div grad U

, U

2U U .

2

2

2

2

При этом

2

i

j

k

.

y

x

2

y

2

z

2

x

z

2U

2U

2U

Тогда

U 2U x2

y2

z2 .

Определение .

Уравнение

в

частных

производных

U 0 или

2U

2U

2U

0 называют уравнением Лапласа.

x2

y2

z2

Дважды дифференцируемую функцию

U x, y, z ,

удовлетворяющую этому

уравнению, называют

гармонической в области

G. Для плоской области

форме.

rot grad U U 0 - потенциальное поле grad U является безвихревым

полем.

div rot a ,

, a

0 - векторное поле роторов соленоидально.

rot rot a

grad div a

a

grad diva

rot rota

a ,где

a P

x, y, z i Q x, y, z j

R x, y, z k P Q R

- вектор-функция,

полученная в результате применения оператора Лапласа функциям P,Q, R .

Определение. Векторное поле

q M называется гармоническим в области G,

0

0 . Для односвязных областей из первого условия

условия rot q

и div q

следует, что

q

grad ,

а из второго, что div q

div grad 0 , т. е.

1

U ln

, r x2

y2 , r 0 .

r

Решение. Вычислим частные производные второго порядка функции

1

2U

2U

U

ln x2 y2 и вычислим U x2

y2 .

2

U

x

U

y

2U

x2 y2

2U

y2 x2

,

,

x2

,

y2

,

x

x2 y2

y

x2 y2

x2 y2 2

x2 y2 2

U 2U2

2U2

0 функция

U ln

1

- гармоническая.

Тогда поле

r

x

y

x

y

2U 2U

q

grad U

i

j -гармоническое и div q

x2

y2

0, rot q

0

x2

y2

x2 y2