Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Московский_государственный_технический_университет

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

6x2

поля

diva

		d . (14.12)
Векторная форма записи этой формулы: div a dV a, n0		d . (14.12)
V	S

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: для того, чтобы поток векторного поля в сторону внешней нормали был отличен от нуля,

внутри области G должны быть источники или стоки поля. Но тогда будет отлична от нуля. Само векторное поле как бы расходится от

источников. Отсюда происходит название «дивергенция», или

«расходимость».

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что в объѐмно односвязной области поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность,

расположенную в этой области, равен нулю. Для объѐмно неодносвязной области поток может и не быть равным нулю. Слово «соленоидальное» обозначает «трубчатое». Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, который заключается в

следующем: в соленоидальном векторном поле		M	поток через любое
	a
сечение векторной трубки имеет одно	и		то же значение.

a, n1 d		a, n2 d .

1	2
Пример 14.3.		Найдѐм дивергенцию		векторного
исследуем расположение источников и стоков.
				P	Q	R
Решение. По формуле (14.10):			diva	x	y	z
	0 , если x2 z2 1 .
div a	0 , если x2 z2 1 .

				и
a	2x3i	6 yj	2z3k	и

6 6z2 .

Это уравнение цилиндра

(см. рис.14.4). Внутри цилиндра в

области x2 z2 1 расположены стоки

	0 . Вне цилиндра x2	z2	1
поля diva

расположены источники поля

. На самом цилиндре нет ни diva 0

источников, ни стоков.

Рисунок 14.4


Пример 14.4. Найдѐм поток векторного поля						a	x3i	y3 j z3k через полную
поверхность сферы x2 y2 z2		x .
			Решение. Поток векторного поля через
										d . Так как
			поверхность a, n0							d . Так как


			поверхность замкнута, его можно
			вычислить по формуле Остроградского
			– Гаусса (14.12):
			П a, n0 d diva dxdydz

				S					V
			Вычислим
					P		Q	R	3 x2	y2 z2 . Тогда
	Рисунок 14.5		diva		x		y	z	3 x2	y2 z2 . Тогда
					x		y	z

3 x2 y2 z2 dxdydz . Учитывая смещение сферы по оси OX, перейдѐм

y sin cos

к сферическим координатам: (см. рис.14.5) z sin sin , J 2 sin ,

x cos

x2 y2 z2 2 .

Уравнение сферы при этом примет вид: cos , 0 2 . Составим интеграл

в новых координатах и расставив пределы интегрирования в повторном интеграле, вычислим его.

3				4d			d cos .
	d sin d				6 cos5
2		2	cos			2
	0	0	0		5	0	5

Пример 14.5. Найдѐм поток векторного поля

	Ответ:
	Ответ:			5

a	xi	4 yj	5zk

через часть

поверхности эллипсоида	x2	y2	z2	1 ,	x 0, y 0,	z 0 в направлении,
поверхности эллипсоида	a2	b2	c2	1 ,	x 0, y 0,	z 0 в направлении,
	a2	b2	c2
						42

составляющем тупой угол с OZ, используя формулу Остроградского –

Гаусса.

Решение. Рассмотрим следующий способ

решения. Достроим данную поверхность

до

замкнутой,

«замкнув»

еѐ

координатными

плоскостями

x 0, y 0,

z 0.

(См. рис.14.6) По

свойству

аддитивности

поверхностного

интеграла, поток П через замкнутую

поверхность есть сумма потоков через

Рисунок 14.6

часть

эллипсоида

через части

координатных

плоскостей. Тогда

ellips

x 0 y 0 z 0 .

Функции

P x, y, z x,

Q x, y, z y,

R x, y, z z

непрерывны вместе

со

своими частными производными во всех точках R3 . Поток векторного поля

через полную поверхность замкнутого тела вычислим по формуле (14.12)

a, n0 d

diva

dxdydz , где diva

1 4 5 10 , т.е.

10 dxdydz .

Если учесть, что dxdydz V - объѐм одной восьмой части тела,

ограниченного эллипсоидом то получаем

abc

5 abc

Потоки через части координатных плоскостей, замыкающих наше тело,

вычисляем по формуле (14.7), учитывая направления нормальных векторов.

x 0 P x y, z , y, z dydz 0 , т. к. P x y, z , y, z x 0, dx 0 ;

Dyz

y 0 Q x, y x, z , z dxdz 0 , т. к. Q x, y x, z , z 4y 0, dy 0 ;

Dxz

z 0

, т. к.

x, y, z x, y dxdy 0

x, y, z

x, y

5z 0, dz 0

Dxy

И учитывая, что

, получаем ответ:

5 abc

ellips

x 0

y 0

z 0

ellips

Занятие 15.

Теория: Криволинейный интеграл в векторном поле и условия его

независимости от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле, его свойства. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса и ее применение. Оператор Лапласа. Гармонические поля.

ОЛ-1 гл.5,6,7,8, ОЛ-4 гл.3, ОЛ-4 § 12 п.12.4.

Практика: ОЛ-6 №№ 2398 в), 2355, 2356, 2360 или ОЛ-5 №№ 10.110, 113,

116, 121, 150

Домашнее задание к занятию 15: ОЛ-6 №№ 2357, 2358, 2359, 2397

1.Криволинейный интеграл в векторном поле.

Криволинейный интеграл векторного поля – это криволинейный интеграл

второго рода. Определяется он следующим образом. Пусть в области G

задано векторное поле

a M и в этом поле

определена гладкая или кусочно-гладкая

ориентированная кривая АВ. Разобьѐм

кривую АВ на n частей точками

A M 0 , M1 , M 2 , , M n

B по направлению от

А к В. (см. рис.15.1)Радиус-вектор точки

Рисунок 15.1

M k

, k 0,1, , n . Вектор

обозначим rk

rk 1 . Выберем произвольно на каждой частичной дуге M k 1M k точку

в них. Для всех

k 0, n

вычислим

и вычислим вектор поля a Mk

, rk и составим интегральную

значения скалярного произведения a M k

, rk .

сумму Sn a M k

k 1
	M вдоль
Определение. Криволинейным интегралом векторного поля a	M вдоль

дуги АВ называется предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма Sn , если наибольшая из длин частичных дуг rk

стремится к нулю, а число элементарных дуг n неограниченно возрастает.


Этот предел обозначают символом a, dr . Т.е.
				AB
		n
a, dr	lim		, rk ) .			(15.1)
a, dr	lim	(a M k	, rk ) .			(15.1)
AB	max rk 0	k 1
							.
При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак: a, dr						a, dr	.
					AB	BA
					- это работа, произведѐнная силой
Физический смысл выражения			a, dr		- это работа, произведѐнная силой
			AB

a M при перемещении материальной точки от А к В по линии L.

		A a, dr				(15.2)

Криволинейный интеграл векторного поля вдоль замкнутой кривой

(контура L) называется циркуляцией поля по замкнутому контуру при заданном направлении обхода контура и обозначается символом

Ц					(15.3)
	a, dr

(знак + обозначает, что контур обходится против часовой стрелки).

Пусть поле задано своими функциями-координатами

	M P x, y, z				и		dx; dy; dz .	Тогда
a	M P x, y, z	i	Q x, y, z j	R x, y, z k	и	dr	dx; dy; dz .	Тогда
		P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz .
	a, dr	P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz .						(15.4)
	AB		AB

В правой части выражения (15.4)- криволинейный интеграл второго рода.

Для плоского поля					криволинейный интеграл
Для плоского поля	a	M P x, y i		Q x, y j	криволинейный интеграл
			P x, y dx Q x, y dy . (15.5)
вычисляется по формуле: a, dr			P x, y dx Q x, y dy . (15.5)
		АВ		AB

Криволинейный интеграл векторного поля вычисляется по обычным правилам вычисления криволинейного интеграла второго рода, т.е.

преобразовывается в определѐнный. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование. (См. занятие 10)


			yk при
Пример 15.1. Найдѐм работу векторного поля a	yzi	x2 j

перемещении точки вдоль меньшей части кривой, являющейся пересечением цилиндра x2 y2 4 и параболоида гиперболического z xy , от точки

M 2,0,0 к N 0,2,0 .

Решение. Построим заданную часть кривой (см. рис. 15.2) и вычислим

работу по формуле (15.2):

		yzdx x2dy ydz .
A a, dr		yzdx x2dy ydz .
L		L

Построенный криволинейный интеграл 2-ого рода сведѐм к определѐнному.

Для этого используем параметрическую
форму записи уравнений кривой
	x 2cost
L :		2sin t			, где 0 t		.
L :	y	2sin t			, где 0 t	2	.
		4cost sin t				2
	z	4cost sin t
Тогда работа
Рисунок 15.2

2
A 8cost sin2 t 2sin tdt 4cos2 t 2cost dt 8sin t					cos2 t sin2 t dt .
0
После вычисления получаем ответ:	A		4	.
После вычисления получаем ответ:	A			.
		3

2. Потенциальное векторное поле.


Определение . Векторное поле a M называется потенциальным в области
G, если существует такая скалярная функция U M , что еѐ градиент равен

вектору a M , т.е.	grad U M a M .

Функция			U M называется скалярным потенциалом векторного поля							M .
Функция			U M называется скалярным потенциалом векторного поля						a	M .

Если		a M P x, y, z i				Q x, y, z j		R x, y, z k , то из определения следует, что
P	U	; Q U ; R			U .
	x		y		z
Пусть функции P; Q; R имеют непрерывные частные производные в

односвязной области G. Тогда для потенциального поля a M можно
доказать эквивалентность следующих утверждений.
1) Поле является потенциальным тогда и только тогда, когда
P	Q ,		P	R ,	Q		R	(15.6)
y	x		z	x	z		y
Для плоского поля: P							Q .
					y		x

Это необходимые и достаточные условия потенциальности поля.

2) Циркуляция потенциального векторного поля по любому замкнутому контуру L G равна нулю.

3) В области G существует		скалярная	функция U x, y, z ,	полный
дифференциал которой совпадает с подынтегральным выражением
				a, dr
криволинейного интеграла,	т. е.	dU Pdx Qdy Rdz. В этом случае функция
U x, y, z определяется не	однозначно, а с		точностью до постоянного

слагаемого, т.к. dU d U C .

4) Криволинейный интеграл потенциального векторного поля не зависит от пути, соединяющего две произвольные точки A G и B G , а зависит только от положения этих точек. Имеет место формула Ньютона-Лейбница.

	B
	dU U B U A ,
a, dr		(15.7)
AB	A

т.е. работа в потенциальном поле не зависит от выбора пути между точками

А и В, и равна разности потенциалов в этих точках.


Пример 15.2. Убедимся в том, что поле a	xi	y 1 j	z 1 k

является потенциальным, найдѐм потенциал поля U и вычислим работу,

совершаемую этим полем при перемещении

материальной точки из		0;1;				; 0;
материальной точки из	B	0;1;		в C		; 0;		.
			3		3		2

Решение. Поле определено в каждой точка пространства R3 . Проверим потенциальность поля (см. (15.6)):

P	0	Q	;	Q	0	R	;	R	0	P	условия
y		x		z		y		x		z

выполнены, поле потенциально.

Рисунок 15.3

Для вычисления потенциала воспользуемся тем, что линейный интеграл в таком поле не зависит от пути интегрирования и может быть

вычислен по формуле Ньютона-Лейбница. Пусть точка O 0;0;0			- начало
пути,	а некоторая точка M x; y; z -	конец пути. Вычислим	интеграл
x, y,z		x, y,z
I	P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz	xdx y 1 dy z 1 dz	по
0,0,0		0,0,0

контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям

(см.Рисунок 12). I .

OA AB BC

y 0, dy 0,

Уравнения частей контура: OA: ,

z 0, dz 0

x x, dx 0, AB: ,

z 0, dz 0

x x, dx 0, BC : .

y y, dy 0

	x	x	2			y	y	2			z	z	2
Тогда	xdx			,		y 1 dy			y ,		z 1 dz		z .
		2					2					2
OA	0				AB	0				BC	0

В итоге получаем: I 12 x2 y2 z2 y z .

4. Ротор (вихрь) векторного поля.

Формула Стокса.

B 0;1;3

Теперь тот	же	интеграл	вычислим по					формуле Ньютона-Лейбница:
x, y,z		x, y,z					x, y,z				.
I Pdx Qdy Rdz dU x, y, z U x, y, z							0,0,0 U x, y, z U 0, 0, 0
0,0,0		0,0,0
Сравним результаты:U x, y, z U 0, 0, 0				1		x2		y2 z2 y z.
				2
Из полученного		равенства	следует, что			U x, y, z			1	x2 y2 z2 y z , а
									2
U 0,0,0 0.	Потенциал данного поля U x,				y, z			найден.

Найдѐм работу, совершаемую векторным полем при перемещении точки из в C 3; 2; 1 . В потенциальном поле работа равна разности потенциалов в конечной и начальной точках пути (см.(15.7)), т. е.


A a,dr
BC

dU U C U B . Вычислив значения потенциала

U x, y, z в точках, получаем ответ: работа A 5 .


Пусть a M - векторное поле, заданное в конечной области G с гладкой

(или кусочно-гладкой) границей σ и n0 M			- единичный вектор внешней
						d
нормали к σ в точке M. Вектор-функция Q V				n M	a M	d


	по границе области G.
называется циркуляцией поля a M	по границе области G.
Если существует предел при стягивании объѐма V, заключѐнного внутри
в точку P V :

		Q V

q P	lim			,
q P	lim	V		,
	V P	V
						в точке P V и
то вектор q P называется ротором или вихрем поля					a M	в точке P V и

	P . По определению:
обозначается символом rot a

M d

n M a

rot a P lim

V P

это плотность циркуляции векторного поля по границе области.

Пусть в области G задано векторное поле

и пусть M- внутренняя

точка области G,π –некоторая плоскость, проходящая через эту точку. n0

- единичный вектор нормали к π,

L-

замкнутый контур, лежащий в

плоскости и ограничивающий область Ф, такую, что M - внутренняя точка

a, dr

области Ф. Тогда принимают rot a, n0

lim

В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области).

Если компоненты	P; Q; R поля		имеют		непрерывные частные
		a
				M	вычисляется по формуле:
производные по x; y; z , то вектор ротора поля a



		i	j	k
	M
rot a
rot a		x	y	z
		x	y	z
		P	Q	R

. (15.8)

В частности, для плоского поля				Q	P
В частности, для плоского поля	a	P x, y ;Q x, y ;0 : rot a	M		k .
				x	y

Определение.		Если	в каждой точке области выполняется равенство
	0, то поле
rot a M			a M называется безвихревым.
Теорема.	В односвязной области всякое безвихревое поле потенциально.

rot a M rot grad U 0 .

Это является необходимым и достаточным условием потенциальности поля


	M в поверхностно односвязной области.		Если	область не является
a
поверхностно односвязной, то условие			M 0	не достаточно для
		rot a

потенциальности поля.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.201628.85 Кб114Монголо татарское завоевание + последствия.docx
#
19.11.2019121.34 Кб6Морфологич. структура слова.doc
#
01.05.2025406.02 Кб0Московский государственный технический универси...doc
#
01.03.202531.37 Кб0Московский Государственный Технический Универси...docx
#
01.07.202538.79 Кб0Московский ордена Ленина.docx
#
23.03.20161.25 Mб121Московский_государственный_технический_университет.pdf
#
24.12.201860.66 Кб2Мотивация труда посредством проектирования рабо....docx
#
23.03.2016154.82 Кб18Мощелкова_МУ к орг-эк части ДП.docx
#
27.10.20181.07 Mб12МОЯ ОБРАБОТАННАЯ.doc
#
17.09.201986.53 Кб6Моя шпора Тема 4.docx
#
09.02.20151.03 Mб14МОЯ Экономическая часть.doc