Московский_государственный_технический_университет

поверхности G и нормальный вектор составляет с осью OY острый угол . В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода по гладкой ограниченной поверхности, которая однозначно проецируется в каждую из координатных плоскостей, сводится к трѐм двойным интегралам, знаки перед которыми выбираются соответственно тому, какие углы составляет выбранный нормальный вектор с осями координат.

P x, y, z dydz Q x, y, z dxdz R x, y, z dxdy

если вектор нормали к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OX.

Решение. Построим часть цилиндра параболического, ограниченную заданными плоскостями (см. рис. 13.3)

Вычислим I1 . Для этого построим проекцию области G на плоскость YOZ .

б)Второй способ вычисления поверхностного интеграла 2-ого рода. Заметим, что если - площадь элементарной части поверхности G и нормальный вектор к этой площадке составляет с осями координат углы

P x, y, z cos Q x, y, z cos R x, y, z cos d

G

То есть поверхностный интеграл 2-ого рода сводится к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12)

Отметим, что если уравнение поверхности G имеет вид F x, y, z 0 , то единичный нормальный вектор к ней в точке M x, y, z имеет координаты, совпадающие с его направляющими косинусами

Подставив эти выражения в подынтегральное выражение и упростив его,

получим интеграл вида f (x, y, z)d .

G

Таким образом поверхностный интеграл 2-ого рода сведѐм к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12).

32

Пример 13.2. Вычислим интеграл 2x y dydz x3 z2 y2 dxdz z3dxdy

G

в условиях примера 13.1, преобразовав его в поверхностный интеграл 1-ого рода (см. (13.3) и (13.4)). Для этого найдѐм направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности.

В рассматриваемом примере уравнение поверхности имеет вид x z2 0

Для вычисления получившегося поверхностного интеграла I рода спроецируем σ на плоскость XOY (см. рис. 13.3) и преобразуем интеграл в

Подставим всѐ в подынтегральное выражение, расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и вычислим его.

Ответ: 72 2 .

Занятие 14.

Векторное поле (определение). Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. Определение потока векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для односвязной области. Физический смысл

33

дивергенции. Стоки и источники поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства.

ОЛ-1 гл.6,7, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 § 12, п. 12-3.

Практика: ОЛ-6 №№ 2374, 2361, 2365, 2367 или ОЛ-5 №№ 10.95, 102, 103,

105, 108, 145.

Домашнее задание к занятию 14: ОЛ-6 №№ 2362, 2364, 2366, 2368 или ОЛ- 5 №№ 10.96, 99, 104, 144, 146.

1.Векторное поле.

направленными по осям, то задание векторного поля равносильно заданию трѐх скалярных функций-координат, каждая из которых зависит от трѐх

Если G - область на плоскости R2 , то в декартовых координатах скалярное поле задаѐтся функцией двух переменныхU U x, y , а векторное

поле – двумя функциями двух переменных .

В этом случае поле называется плоским.

Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы

электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором

34

дифференцируемы n раз. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемое поле дифференцируемо нужное нам число раз.

Определение. Действительная функция U M , определѐнная в каждой точке M некоторой области G , называется скалярным полем U M .

2. Векторные линии поля.

Определение . Векторной линией векторного поля называется линия, в

a M

каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней. (см. рис.

14.1)

В физике это понятие для

Рисунок 14.1

конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения,

электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.

t

где λ – некоторое число.

Уравнение (14.1) - дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.

В пространстве R3 в декартовой системе координат для векторов

35

Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для еѐ решения применяются интегрируемые комбинации, с

привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система превращается в одно уравнение:

Определение. Поверхность, состоящая из векторных линий, проведѐнных через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.

Решение. Поле, у которого P x, y y, Q x, y x , определено на всей

плоскости XOY, следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение

уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 –

концентрические окружности.

Для определения направления движения по векторной линии материальной

точки, попавшей в векторное поле, рассмотрим проекцию вектора a на ось

OX. Это P x, y y . Там, где P x, y 0 , составляет с осью OX острый угол, a

где P x, y 0 - тупой. Учитывая, что вектор поля направлен по касательной к векторной линии, и векторные линии непрерывны, достаточно выяснить,

36

что в первой четверти движение поля происходит по часовой стрелке (см. рис.

14.2Рисунок 1).

Ответ: x2 y2 C - уравнения векторных линий.

Рисунок 14.2

3.Поток векторного поля через поверхность.

Пусть σ – некоторая ориентированная поверхность в области G. Выберем определѐнную еѐ сторону, задав единичный вектор нормали к поверхности

Имеют место другие формы записи потока вектора. Например, учитывая, что

Поток можно записать в координатной форме, вычислив скалярное

Сведѐм задачу к вычислению интеграла I рода (см. занятие 13). Для этого

вычислим скалярное произведение и подставим его в формулу.

a, n0

Но ds S , т.е. 2S . Из векторной алгебры известно, что площадь

s

треугольника MNP равна половине модуля векторного произведения двух

38

векторов, на которых построен треугольник (см. рис. 14.3Рисунок 9), т.е.

Ответ: 2 72 7 .

Замечание. Можно было бы вычислить поток с помощью поверхностного интеграла 2-ого рода (см. (14.6) и (14.7)). Тогда каждое из слагаемых в формуле (14.7) преобразуется в двойной интеграл по области D,

являющейся проекцией поверхности σ на соответствующую координатную плоскость(см.занятие13):

4.Дивергенция векторного поля.

Соленоидальное векторное поле.

В правую часть формулы (14.8) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (поток векторного поля и объѐм области). Поэтому дивергенция зависит лишь от свойств поля и не зависит от выбора системы координат. Исходя из определения, можно записать

39

По этой формуле поверхностный интеграл 2-ого рода преобразуется в тройной интеграл.

40