Московский_государственный_технический_университет

является полным дифференциалом некоторой функции U x, y и найдѐм еѐ.

Проверим результаты вычисления примера 11.2 по формуле Ньютона-

Лейбница.

Решение. Условие существования функции U x, y (11.2) было проверено в

предыдущем примере. Найдѐм эту функцию, для чего воспользуемся

Как было сказано выше, функциональная часть полученного выражения и есть искомая функция U x, y exy2 3x y .

Проверим результат вычислений из примера 11.2 по формуле Ньютона – Лейбница:

Результаты совпали.

Замечание. Все рассмотренные утверждения верны и для пространственного

случая, но с большим количеством условий.

21

Пусть кусочно-гладкая кривая AB принадлежит области G в пространстве

а) выражение P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz является полным дифференциалом некоторой функции U x, y, z ,

б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции

U x, y, z не зависит от формы пути и

Решение. Для ответа на вопрос о том, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции U x, y, z , вычислим частные производные от функций P x, y, z 2xy sin x , Q x, y, z x2 cos z ,

R x, y, z ysin z . (См. (11.5))

Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке пространства OXYZ .

22

Занятие 12.

Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства. Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести. ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4 § 11.

Практика: ОЛ-6 №№ 2347, 2352, 2353 или ОЛ-5 №№ 10.62, 65, 67.

Домашнее задание к занятию 12:

ОЛ-6 №№ 2348, 2354 или ОЛ-5 №№ 10.63, 64, 68.

1. Определение поверхностного интеграла первого рода.

Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ограниченная поверхность, в каждой

1, 2 , , n . Выберем на каждой из частей произвольную точку

n

Pk Gk , k 1, , n и составим интегральную сумму Sn f Pk k .

k 1

Если существует предел последовательности интегральных сумм при неограниченном увеличении числа разбиений и уменьшении каждой части, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода.

Теорема существования. Если функция f (x, y, z) непрерывна в каждой

точке гладкой поверхности G , то она интегрируема по этой поверхности, т.е. существует предел последовательности интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек.

2.Вычисление поверхностного интеграла 1-ого рода.

24

4) Теорема об оценке. Если числа M и m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции f x, y, z на поверхности G, то верно

неравенство: m d f x, y, z d M d

G G G

5) Криволинейный интеграл от единичной функции равен площади

4.Некоторые приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.

1) Масса материальной поверхности G переменной плотности x, y, z

может быть найдена по формуле

G

Iz x2 y2 x, y, z d

G

4) Момент инерции поверхности G относительно начала координат:

5.Примеры решения задач.

Пример 12.1. Найдѐм массу части плоскости 2x 2y z 6 , ограниченной координатными плоскостями, если плотность в каждой точке x, y, z 2xyz . Решение. Построим заданную часть плоскости G ( см. рис. 12.1). .

26

Поверхность G однозначно проецируется на координатную плоскость XOY, поэтому для вычисления массы (12.5) применим формулу (12.1).

Рисунок 5.1

M x, y, z d

G

x, y, z 2xyz 2xy 6 2x 2y

Подставляем всѐ в подынтегральное выражение и вычисляем интеграл.

M 2xy 6 2x 2 y 3dxdy 24,3 .

Dxy

Ответ: M 24,3.

Пример 12.2. Вычислим координаты центра масс части поверхности полусферы z a2 x2 y2 , вырезанной цилиндром x2 y2 ax , если

плотность x, y, z xz .

Решение. Построим заданные поверхности и выделим нужную часть полусферы (на рис. 12.2 она выделена синим цветом). Поверхность удобно

проецируется на плоскость XOY в область, ограниченную окружностью x2 y2 ax .

Используя формулы (12.5) и (12.1) составим интеграл для вычисления массы части поверхности.

27

Рисунок 12.2

Определение. Поверхность называется гладкой, если в каждой еѐ точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности.

Если поверхность состоит из нескольких гладких частей, примыкающих друг к другу и не имеющих общих внутренних точек, то она называется кусочно-

гладкой.

В каждой точке гладкой поверхности G можно построить единичный нормальный вектор n , который непрерывно будет перемещаться вместе с перемещающейся касательной плоскостью. Возьмѐм на гладкой поверхности G произвольную точку M и зафиксируем нормальный вектор n M . Если при движении

этой точки по какому-либо контуру, принадлежащему поверхности G и не

пересекающему еѐ границы, точка может

нормальный вектор окажется противоположно направленным своему первоначальному положению, то эта поверхность называется

односторонней.

Примером односторонней поверхности является «лист Мѐбиуса» (см. рис.

13.1).

Если такая ситуация невозможна, Рисунок 13.7 поверхность называется

двусторонней.

Определение. Двусторонняя гладкая поверхность называется ориентированной, если в некоторой еѐ точке выбран один из двух возможных нормальный вектор так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке (см. рис. 13.2).

2.Определение поверхностного интеграла второго рода.

Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ориентированная двусторонняя поверхность, в каждой точке которой определена функция f (x, y, z) .

Разобьѐм произвольным образом поверхность на n частей G1, G2 , , Gn , площади которых 1, 2 , , n . Выберем на каждой из частей произвольную точку Pk Gk , k 1, , n . Пусть sk x, y - площадь проекции части Gk на координатную плоскость XOY , взятая со знаком «плюс», если выбранный вектор n составляет острый угол с осью OZ , и со знаком

29

«минус», если этот угол тупой. Составим интегральную сумму

n

Sn f Pk sk x, y .

k 1

Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при неограниченном увеличении числа разбиений и уменьшении каждой части, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода по переменным x и y .

Аналогично определяются поверхностные интегралы 2-ого рода по переменным y и z , а также по x и z .

В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода выглядит следующим образом:

3.Вычисление поверхностного интеграла 2-ого рода.

а)Первый способ. Вычисление поверхностного интеграла (13.1) сводится к вычислению двойных интегралов по тем областям, которые получаются при проецировании поверхности G на координатные плоскости.

Пусть функция R x, y, z непрерывна во всех точках гладкой поверхности G,

которая однозначно проецируется на координатную плоскость XOY в область Dxy и еѐ уравнение можно представить в виде z z(x, y) .

Ориентируем поверхность так, что нормальный к ней вектор составляет острый угол с осью OZ . Интегральная сумма, приводящаяся к поверхностному интегралу, в этом случае будет выглядеть следующим

В пределе при соответствующих условиях получим преобразование поверхностного интеграла 2-ого рода по переменным x и y в двойной:

R(x, y, z)dxdy R x, y, z x, y dxdy .

G Dxy

Если выбрать другую ориентацию поверхности, тогда вектор нормали будет составлять с осью OZ тупой угол и перед двойным интегралом появится знак «минус».

Аналогично для непрерывных функций P x, y, z и Q x, y, z

30