Московский_государственный_технический_университет

Для плоского случая, если линия АВ задана параметрическими уравнениями x x t , y y t , криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

где tA , tB - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования.

Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги.

Пример 10.1 Вычислим криволинейный интеграл xydx x y dy вдоль

l

Воспользуемся формулой (10.5):

x 2y dx y 4z 2 dy z x dz

AB

Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой l AB задан вектор,

имеющий непрерывные функции-координаты:

Разобьѐм эту кривую на n малых частей точками A0 ,..., Ai ,..., An так, чтобы в точках каждой части Ai Ai 1 значение функций P Mi ,Q Mi , R Mi можно было считать постоянными, а сама часть li Ai Ai 1 могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 10.1). Тогда dli dxi ;dyi ;dzi . Скалярное произведение постоянной силы, роль которой играет вектор a Mi , на прямолинейный вектор перемещения dli численно равно работе, которую совершает сила при перемещении материальной точки вдоль li Ai Ai 1 .

n

Составим интегральную сумму a Mi , dli . В пределе при

i 1

неограниченном увеличении числа разбиений получим криволинейный интеграл 2-ого рода

Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода

13

пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.

Решение. Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3).

Работа по замкнутому контуру называется циркуляцией и обозначается

буквой Ц . Воспользуемся формулой (10.7):

a cos

Т.к. точка перемещается по кривой , то удобно в качестве

z a2 2

параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так,

этой кривой:

14

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:

( L - знак + указывает на то , что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки)

Вычислим интеграл и получим ответ: Ц 4a3 .

Занятие 11.

Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула НьютонаЛейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи).

ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.

Практика: ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.

Домашнее здание к занятию 11: ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140

1.Формула Грина.

Пусть на плоскости XOY дана односвязная область G , ограниченная кусочногладким замкнутым контуром Г . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области).

15

Теорема. Если функции

P x, y , Q x, y и их частные

производные P , Q непрерывны в

y x

замкнутой области G Г, то

по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности x2 y2 4 , соединяющей точки A и B, если O 0;0 , A 1; 3 , B 2; 2 .

Решение. Построим контур OABO ( см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.

непрерывны в замкнутой области,

ограниченной данным контуром. По формуле Грина данный интеграл

получаем

16

y3dx x3dy 3x2 3y2 dxdy . Двойной интеграл вычислим, переходя к

пл. XOY . Криволинейные интегралы, вычисленные по различным кривым,

соединяющим эти точки, в общем случае имеют различные значения. Но при выполнении некоторых условий все эти значения могут оказаться одинаковыми. Тогда интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл P x, y dx Q x, y dy не зависел от

AB

формы пути, соединяющего точки A и B , необходимо и достаточно, чтобы

этот интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

17

Теорема 2. . Для того, чтобы интеграл P x, y dx Q x, y dy по любому

Г

замкнутому контуру был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы

P Q

функции P x, y , Q x, y и их частные производные y , x были непрерывны в замкнутой области G Г и чтобы выполнялось условие

P Q (11.2)

y x

Таким образом, если выполняются условия независимости интеграла от формы пути (11.2), то достаточно указать только начальную и конечную

а) существует функция U x, y , такая, что P x, y dx Q x, y dy dU x, y ,

18

б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции

U x, y не зависит от формы пути,

в) имеет место формула Ньютона – Лейбница

x2 , y2

P x, y dx Q x, y dy U x2 , y2 U x1, y1 .

x1 , y1

3. Нахождение функции по еѐ полному дифференциалу.

С помощью криволинейного интеграла, который не зависит от формы пути,

можно найти функцию U x, y , зная еѐ полный дифференциал. Эта задача решается следующим образом.

P x, y dx Q x, y dy является полным дифференциалом некоторой функции

зависит от формы пути и, во-вторых, может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница.

Вычислим P x, y dx Q x, y dy

AB

двумя способами.

а) Выберем в области G точку

A x1, y1 с конкретными координатами и точку B x, y с произвольными

криволинейный интеграл по ломаной, состоящей из двух отрезков прямых,

соединяющих эти точки, причѐм один из отрезков параллелен оси OX , а

интеграла, получаем в ответе некоторую функцию F x, y .

б) Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона – Лейбница.

20