4. Дифракционная решетка

Одним из наиболее распространенных приборов для получения спектров с помощью дифракции является дифракционная решетка. Дифракционные решетки бывают прозрачные и отражательные. Первые представляют собой последовательность параллельных щелей равной ширины, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. В отражательных решетках щели заменены зеркальными полосками. Чаще применяются прозрачные решетки. На рис.8 схематически изображена такая решетка. Ширина щели равна , ширина непрозрачного участка –. Сумманазывается периодом, или постоянной дифракционной решетки. Постоянная решеткисвязана с числом штрихов на единицу длины (на 1мм) соотношением.

Рис.8

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую нормально на решетку. За решеткой расположим собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости – непрозрачный экран Э (рис.9).

Рис.9

Каждая из щелей дает на экране дифракционную картину, показанную на рис.9 пунктирной линией. Картина, получаемая в результате интерференции лучей от многих щелей, является более сложной ( на рис. 9 сплошная линия). Объясним образование такой картины. Линза собирает параллельные лучи, идущие от всех щелей под углом к главной оптической оси линзы в одну и ту же точку М на экране (на рис.9 показаны такие лучи от двух соседних щелей). Амплитуда колебаний, создаваемых в точкеМкаждой щелью в отдельности, будут одинаковыми. Рассмотрим сначала картину, получаемую на центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзыР. Для этой линии, и лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности фаз. т.е. в одной фазе. При этом амплитуды их просто складываются: в случаеNодинаковых щелей амплитуда суммарного колебания будет вNраз больше, а интенсивность враз больше, чем в случае одной щели. Теперь представим себе картину, которую дают лучи, идущие под угломк первоначальному направлению лучей. Эти лучи (см. рис.9) сходятся в точкеМ, пройдя разные пути и имея, следовательно, разные фазы колебаний. Возьмем две соседние щели. Лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей, имеют одну и ту же разность хода:и приходят в точкуМсо сдвигом фаз, равным

(7)

Очевидно, такой сдвиг фазы будет между колебаниями, приходящими от любой пары соседних щелей. Резкое возрастание амплитуды наблюдается только при тех углах , при которых достигается разность фаз, т.е. когда векторы амплитуд колебаний от всех щелей направлены одинаково (см. векторную диаграмму на рис.10). Из формулы (7) следует, что это условие соответствует разности хода

(8)

или

(9)

где – порядковый номер дифракционного максимума. Эту формулу называют также основной формулой дифракционной решетки. Для анализа результатов интерференции дифрагированных лучей используем векторную диаграмму. Результирующая амплитуда равна

,

где – амплитуда колебаний от-й щели, имеющих разность фаз. По модулюодинаковы и равны. Как отмечалось. при выполнении условия (8) все векторысовпадают по направлению, и возникает главный максимум. При большом количестве щелей ширина главных максимумов становится малой. Действительно, если мы сдвинемся на малый уголв сторону от главного максимума, то условиенарушится, и между векторамипоявится дополнительный сдвиг фаз, равный

(10)

Рис.10

Тогда вместо прямой (см. рис.10а) при сложении амплитуд получится многоугольник. Каждый вектор будет повернут относительно предыдущегона один и тот же угол. Амплитударезультирующего колебания является замыкающей многоугольника из векторов(см.рис.10 б и в), Положение замыкающего вектора зависит от числа щелейи угла. Если число щелей велико, то многоугольник даже при малом сдвиге фазнесколько раз обернется вокруг центральной точки О. Если суммарный угол сдвига фаз при обходе многоугольника, то многоугольник замкнется (см.рис.10 б), и результирующая амплитудабудет иметь максимальное значение. Прирезультирующая амплитуда имеет минимальное значение (см. рис.10 в). С увеличением углаизменяется и, поэтому при отклонении от главного максимума суммарная амплитудавозрастает и убывает. Однако величина возникающих побочных максимумов и минимумов будет небольшой (близкой к), пока мы не дойдем до следующего главного максимума, определяемого условием (9).

Таким образом, интерференционная картина, даваемая дифракционной решеткой, состоит из интенсивных узких главных максимумов, между которыми расположены серии небольших побочных максимумов, интенсивности которых тем меньше, чем больше общее число щелей (рис.11).

Рис.11

Из формулы (9) следует, что для данной волны может наблюдаться несколько главных максимумов. В направлении, соответствующем, наблюдается максимум нулевого порядка, при– два главных максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам максимума нулевого порядка. Далее следуют попарно максимумы второго (), третьего () и т.д. порядков. Распределение интенсивности главных максимумов определяется видом распределения интенсивности дифракционной картины от одной щели (см. рис.9).