Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ Национальный исследовательский технологический университет

“МИСиС”

Институт экономики и управления промышленными предприятиями

Кафедра Промышленного менеджмента

Курсовая работа по дисциплине

Методы оптимальных управленческих решений

«Оптимизация плана выпуска стали с применением двойственной задачи»

Вариант №2

    Выполнил:

    Ст. Гр. МГ-13-1

Батагова М.А.

       Руководитель:

    Доцент

    Стоппе Е.В.

Москва, 2015 г.

Содержание Введение……………………………………….…………………………………..3 1.Теоретическая часть…………………………………………………………….4 2.Содержательная постановка задачи…………………………………………....5 3. Решение исходной задачи получения максимальной прибыли…………......7

4.Анализ результатов……………………………………………………………..9 Приложение А……………………………………………………………………11 Приложение Б……………………………………………………………………12 Приложение В……………………………………………………………………13 Приложение Г……………………………………………………………………14

Введение

Цель курсового проектирования — закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования ,развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники. Объектом исследования будет конкретная задача, описанная ниже. В курсовой работе рассмотрим математическую модель оптимизации прибыли и составим двойственную задачу.

Актуальность подобных задач в настоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, т.к. проблема оптимального планирования производства сейчас является, наверное, второй по степени важности после проблемы наилучшей организации передачи и хранения информации, а в России, скорее всего, главной, если говорить исключительно о развитии научного прогресса в нашей стране.

1. Теоретическая часть

Теоремы двойственности:

а) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то симметричная ей двойственная задача также имеет оптимальное решение, причем сами оптимальные значения совпадают: Fmax = Gmin.

б) Если одна из двойственных задач не имеет оптимального решения, то другая задача также не имеет оптимального решения.

в) Если в оптимальном решении одной из задач значение переменной больше нуля, то соответствующее ограничение двойственной задачи обращается в равенство. Если при оптимальном решении одно из ограничений обращается в строгое неравенство, то соответствующая переменная двойственной задачи равна 0.

Это означает, что значение компоненты в оптимальном решении двойственной задачи указывает, на сколько изменится максимум целевой функции, если правая часть соответствующего ограничения изменится на одну единицу.

г) Если одна из двойственных задач решена табличным симплекс методом, то оптимальное решение симметричной двойственной задачи легко находится по последней симплекс- таблице - достаточно найти абсолютные значения балансовых переменных.

2. Содержательная постановка задачи.

На металлургическом заводе при выплавке 4-х видов стали используются 3 вида ресурсов: лом, чугун, ферросплавы. Заданы запасы этих ресурсов, их цены и нормы расхода на выплавку 1 т. стали. Заданы минимальные объемы заказов по каждой марке стали и цена. Исходные данные приведены в таблице:

Марка стали	Запасы ресурсов, т	Цена, тыс. руб/т	Нормы расхода по маркам стали
Ресурс			1	2	3			4
Лом	192	61	0,8	0,7	0,3			0,6
Чугун	202	71	0,3	0,5	0,8			0,6
Ферросплавы	112	129	0,1	0,2	0,15			0,1
Цена стали, тыс.руб/т			151	129	141			125
Объем заказов, т.			62	67		72	68

 Необходимо составить оптимальный план выпуска марок стали, так, чтобы суммарная прибыль от ее реализации была максимальна, то есть:

1. Составить математическую модель задачи и решить ее в среде EXCEL.

2. Составить двойственную задачу, объяснить смысл двойственных переменных. Решить задачу в EXCEL.

3. Провести экономический анализ исходной и двойственной задач. Показать, на сколько изменится прибыль при увеличении (уменьшении) соответствующих ресурсов (заказов) на 5 т.

3. 3. Решение исходной задачи получения максимальной прибыли

4. Математическая модель основной задачи ЛП – задачи определения оптимальных объемов выпуска продукции (номер варианта V=0):

5. Обозначим:

6. хi – количество выплавляемой стали i-й марки , i=1,2,3,4, размерность – т.

7. Тогда: х₁ ≥ 62

8. х₂ ≥ 67 ограничения по заказам

9. х₃ ≥ 72

10. х₄ ≥ 68

11. 0,8х₁ + 0,7х₂ + 0,3х₃ + 0,6х₄ ≤ 192

12. 0,3х₁ + 0,5х₂ + 0,8х₃ + 0,6х₄ ≤ 202 ограничения по ресурсам

13. 0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,15х₃ + 0,1х₄ ≤ 112

14. х_i ≥ 0, i=1,2,3,4

15. Расчет прибыли от реализации 1 т. стали: 151- (0,8*61+0,3*71+0,1*129)=68 129 – (0,7*61+0,5*71+0,2*129)= 25 141-(0,3*61+0,8*71+0,15*129)=46,6 125- (0,6*61+0,6*71+0,1*129)=32,9

16. F= 68x₁ + 25x₂ + 46,6x₃ + 32,9x₄ → max

17. Затем в файле, в соответствующие поля вводим исходные данные и решаем в EXCEL – меню «Сервис» - «Поиск решения»(Приложение А).

18. Математическая модель двойственной задачи ЛП – задачи оценки используемых ресурсов при выполнении производственной программы:

19. -y1 + 0,8y5 + 0,3y6 + 0,1y7 ≥ 68

20. -y2 + 0,7y5 + 0,5y6 + 0,2y7 ≥ 25

21. -y3 + 0,3y5 + 0,8y6 + 0,15y7 ≥ 46,6

22. -y4 + 0,6y5 + 0,6y6 + 0,1y7 ≥ 32,9

23. yj ≥ 0, j = 1, 2,3,….7

24. G = -62y1 -67 y2 -72 y3 - 68y4 + 192y5 +202y6 + 112y7 → min

25. Решение в EXCEL: вводим данные, меню «Сервис» - “Поиск решения»(Приложение Б)

34. 4.Анализ результатов

36. Из любого ограничения двойственной задачи следует, что размерность уi совпадает с размерностью правой части (рубли/ ед. ресурса). Поэтому уi имеют смысл цены единицы ресурса. Их так и называют - теневые цены ресурсов. Речь, конечно, идет не о реальных ценах ресурсов, по которым осуществляется их закупка. Это лишь некоторая экономическая мера, характеризующая ценность ресурса относительно полученного оптимального решения.

37. С помощью теорем двойственности и взаимосвязи переменных х_{1 ,} х_{2 ,} х_{3 ,} х₄ и y₁ - y_7, целевая функция (max)= 13298,383333, а целевая функция (min)= 13298,383333.Результат соответствует теореме пункту (а), оптимальные значения совпадают: Fmax = Gmin, следовательно экономический смысл будет таким: предприятию безразлично - выпускать продукцию следуя оптимальному плану или быть, может взять да продать ресурсы по теневым ценам и, тем самым, возместить понесенные затраты.

39. 0.8x₁+0.7x₂+0.3x₃+0.6x₄≤192

40. 0.3x₁+0.5x₂+0.8x₃+0.6x₄≤202

41. 0.1x₁+0.2x₂+0.15x₃+0.1x₄≤112

42. Так как х1 > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0, то в силу п. в)

43. 0,8у4 +0,3у5 + 0,1у6 ≥ 68

44. 0,7у4 +0,5у5 + 0,2у6 ≥ 25

45. 0,3у4+0,8у5 + 0,15у6 ≥ 46,6

46. 0,6у4 +0,6у5 + 0,1у6 ≥ 32,9

47.     А так как первое, второе, третье и седьмое ограничения исходной задачи обращается при оптимальном решении в строгое неравенство, то у_1, ,y2, у_3, у₇ = 0.

48. Итак, y₆ = 29.16, y₅ = 74.06, y₄ = 26.04.→ у_опт = (0, 0, 0, 26.34, 75.24, 28.66, 0)

49. Подчеркнем, что у_1, y2,у_3, у₇ = 0 означает не дефицитность первого, воторого, третьего и седьмого ресурсов

50.    y₆ = 28.66, y₅ = 75.24, y₄ = 26.34 - дефицитность четвертого, пятого и шестого ресурсов.

51. В силу пункта г) теоремы двойственности, прибыль при увеличении соответствующих ресурсов (заказов) на 5 т. увеличится на 1,217

66. Приложение А

67. 

82. Приложение Б

83. 

97. Приложение В

98. 

109. Приложение Г

110.