3. Частотні характеристики електричних кіл. Резонансні кола Лекція 7 Частотні характеристики кіл

1. Комплексні функції кіл та їхній зв’язок з параметрами ЕК.

2. Частотні характеристики кіл, їх властивості та розрахунок.

1. Як уже відомо, комплексний метод аналізу КЗС полягає у поданні часових синусоїдних функцій через експоненційні функції уявної частоти :

Застосування функції дозволяє ввести поняття комплексної функції (КФ) кола. Це поняття служить для опису лінійних кіл, які не містять у собі незалежних джерел енергії.

Сигнал на виході лінійного кола і сигнална його вході зв’язані лінійним диференційним рівнянням виду:

, (7.1)

де - дійсні коефіцієнти, які залежать лише від параметрів кола і його схеми.

Застосуємо до рівняння (7.1) комплексний метод. Здійснивши перехід із дійсної, часової області оригіналів до комплексної площини зображень для вхідної і вихідної синусоїдних величин:

,

і урахувавши, що операція диференціювання у часовій області заміняється у комплексній області множення на , одержимо наступне рівняння:

(7.2)

Комплексною функцією кола називається відношення комплексних зображень реакції кола і його вхідної дії:

(7.3)

Порядок ЕК і його КФ визначається найвищим степенем при у знаменнику виразу (7.3) – поліномі.

КФ дозволяє легко знайти зображення вихідного сигналу, якщо відоме зображення вхідного сигналу:

(7.4)

Нехай ЕК представлено у вигляді пасивного чотириполюсника рис. 7.1. Таке подання уможливлює проведення класифікації комплексних функцій кола. На вхідних затискачах 1-1’ діють напруги і струм . На затискачах 2-2’ окремо виділеного елемента схеми діють напруга і струм.

Рисунок 7.1

Комплексні функції кола можуть бути вхідними і передаточними.

Вхідна функція – це відношення зображень струму і напруги, які діють на вхідних затискачах. До таких функцій належить вхідний опір і вхідна провідність.

(7.5)

Передаточна функція – це відношення зображень струмів і напруг, які діють на різних парах затискачів. До таких функцій належать: комплексні передаточні функції, або коефіцієнти передачі за напругою і струмом:

; (7.6)

Передаточні опори:

; (7.7)

Передаточні провідності:

(7.8)

Розглянемо зв’язок КФ кола з його параметрами детальніше. Нехай дано схему ЕК рис. 7.2. На ній - реальні джерела вхідного сигналу. На вході ЕК діють напругаі струм, а на виході, тобто на будь-якому елементі – напруга і струм .

Рисунок 7.2

Знайдемо відношення між цими напругами та струмами, скориставшись методом контурних струмів. Вважаючи k-й і l-й контури зовнішніми, запишемо систему рівнянь за МКС:

(7.9)

де - контурні опори, - сума опорів елементівk-го контуру без урахування внутрішнього опору джерела - контурний опірk-го контуру; - контурні струми. Із системи рівнянь (7.9) виключені параметри джерела сигналу.

Розв’язок системи відносно вихідного струму (див. лекцію 3):

, (7.10)

де Δ – детермінант системи (7.9); Δkl – алгебраїчне доповнення елемента .

Аналогічно одержимо розв’язок відносно струму на виході:

(7.11)

Вхідні і передаточні функції ЕК рис. 7.2 знаходимо з урахуванням формул (7.10) і (7.11):

Вхідна провідність:

; (7.12)

Передаточні провідність і опір:

; ; (7.13)

Коефіцієнт передачі за напругою і струмом:

(7.14)

Детермінанти - являють собою суму добутків контурних опорів, наприклад:

Будь-який контурний опір у загальному випадку є раціональною функцією уявної частоті :

і тому детермінантиє раціональними функціями, а відтак усі перераховані КФ (7.12) – (7.14) є раціональними функціями змінноїі можуть бути подані у вигляді раціонального дробу (7.3) з дійсними коефіцієнтами. Важливими є те, що всі коефіцієнти чисельникаі знаменникацього дробу є величинами дійсними, оскількивони залежать лише від схеми ЕК і визначаються його параметрами

Таким чином, КФ кола (вхідні і передаточні) не залежать від вибору визначальних величин (контурних струмів, вузлових потенціалів) або вибору незалежних контурів і вузлів. Вони однозначно визначаються виключно схемою кола і його параметрами Інакше кажучи, схема і параметри кола зумовлюють той чи інший характер частотної залежності КФ, яка породжена присутністю реактивних елементів у колі.

2. Частотні характеристики ЕК є компонентами комплексних функцій. Нехай маємо КФ кола:

(7.15)

Тут функція

(7.16)

Модуль КФ, який називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) кола. Величина - це відношення амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вхідного сигналу.

Функція

(7.17)

визначає зсув за фазою реакції кола відносно вхідної дії і називається фазочастотною характеристикою (ФЧХ) кола.

Функція

(7.18)

це дійсна частина КФ кола і називається дійсною частотною характеристикою (ДЧХ) кола.

Функція

(7.19)

це уявна частина КФ кола і називається уявною частотною характеристикою (УЧХ) кола.

Частотні характеристики описують властивості ЕК при дії на них синусоїдних сигналів. Вони можуть легко бути виміряні в експериментальний спосіб. За їх допомогою можна визначити реакцію кола на задану дію будь-якої частоти, а також аналізувати важливі особливості застосування кола. Так, АЧХ, зображена на рис. 7.3, характеризую ЕК, яке має властивості пропускати сигнали тільки в діапазоні частот від до. Таке коло може бути застосоване як смуговій фільтр. Ця АЧХ дозволяє оцінити такі якісні показники кола, як рівномірність характеристики у межах смуги пропускання (діапазон частот віддо), затухання поза смугою пропускання (частоти менші зата більші за), крутизну характеристики на межах смуги пропускання. До того ж можна кількісно визначити граничні частоти,, смугу пропусканнятощо.

Рисунок 7.3

Розглянемо деякі приклади визначення частотних характеристик ЕК:

1. Фільтр верхніх частот (рис. 7.4) КФ RC кола:

(7.20)

Уведемо позначення , яке називаєтьсястала часу кола. Одержимо:

- АЧХ RC кола.

- ФЧХ RC кола.

АЧХ і ФЧХ показані на рис. 7.4 б. Якщо КФ подати у алгебраїчній формі

,

то отримаємо ДЧХ і УЧХ (рис. 7.4 в):

Рисунок 7.4

2. Фільтр нижніх частот (рис. 7.5)

(7.21)

–АЧХ

- ФЧХ

АЧХ і ФЧХ показані на рис. 7.5 б.

- ДЧХ

- УЧХ.

ДЧХ і УЧХ показані на рис. 7.5 в.

Окрім rC - кіл, існують ще й rL - кола, які виконують такі ж самі функції щодо обробки сигналів. Ці кола показані на рис. 7.6 а,б.

Оцінимо їх КФ. Для схеми рис. 7.6 а:

де - стала часу кола.

Для схеми рис. 7.6 б:

Рисунок 7.5

Рисунок 7.6

Отримані вирази комплексних функцій rL – кіл рис. 7.6 свідчить про те, що частотні характеристики rL – кіл збігаються з частотними характеристиками rС – кіл, причому схема рис. 7.6 а є фільтром верхніх частот, дуальним до схеми рис. 7.5 а, а схема рис. 7.6 б є фільтром нижніх частот, дуальним до фільтру рис. 7.5 б.

Розглянуті приклади підтверджують теоретичні положення про властивості комплексних функцій ЕК. Ці властивості наступні:

1. –властивість спряженої симетрії;

2. –властивість парності ДЧХ;

3. –властивість непарності УЧХ;

4. –парність АЧХ;

5. –непарність ФЧХ.