Лекція 8 Послідовний коливальний контур

1. Явище резонансу і параметри послідовного КК.

2. КФ і ЧХ послідовного контуру.

3. Селективність КК. Застосування.

1. Послідовний коливальний контур (КК) – це ЕК, що складається із послідовних з’єднання елементів L і С. Втрати в контурі ураховані через опір r. У реальному контурі його активний опір визначається активним опором індуктивної котушки (опором проводу, який на ній намотаний). У такому контурі постає резонанс напруг – явище, коли напруга на реактивних елементах КК значно перевищує вхідну напругу (ЕРС). Причина резонансу – реактивний опір послідовного КК стає рівним нулю:

(8.1)

(8.1) є умовою резонансу напруг. Резонанс – це явище, за якого опір КК стає чисто активним. Резонансна частота розраховується з умови (8.1):

(8.2)

Резонансна частота повністю визначається параметрами L і C. Якщо частота сигналу , то КК настроєний на частоту сигналу. Якщо ж, то контур розстроєний, і його розстроювання тим більше, що більший реактивний опір.

Опір індуктивності або ємності КК при резонансі називається хвильовим, або характеристичним:

Із урахуванням (8.2):

(8.3)

Це один із важливих параметрів КК, не залежить від частоти і визначається виключно параметрами L і С. На практиці .

Оскільки при резонансі опір послідовного КК мінімальний і дорівнює:

(8.4)

то струм у контурі є максимальним:

(8.5)

Рисунок 8.1

Натомість напруга на реактивних елементах КК при резонансі є рівними за амплітудою і протилежними за фазою (рис. 8.2):

З формул видно, що ці напруги збільшуються при збільшенні хвильового опору .

Один із важливих параметрів контуру – це його добротність:

(8.6)

Величина, зворотна до добротності, називається затуханням:

(8.7)

Добротність контура, як це випливає з (8.6), обмежується активним опором індуктивної котушки і зазвичай складає . Найзагальнішим визначенням добротності є визначення енергетичне. При резонансі сумарна енергія, накопичена у контурі, залишається незмінною:

,

відбувається лише непереривний періодичний перерозподіл (коливання) енергії, що накопичується в індуктивності і ємності(рис. 8.3). В момент, коли енергія магнітного поля індуктивності досягає максимуму, енергія електричного поля ємності дорівнює нулю, і навпаки; відбувається процес взаємного обміну енергією. Джерело енергії вхідного сигналу служить для компенсації втрат в активному опорі контуру. Воно є необхідним для збудження і підтримання коливань у контурі.

Рисунок 8.2

Рисунок 8.3

Звідси добротність контура:

(8.8)

де – максимальна енергія, накопичена в індуктивності;– активна потужність у контурі; – період коливань при резонансі.

Відтак добротність Q – це відношення енергії, накопиченої у контурі при резонансі, до енергії втрат у ньому.

2. Для послідовних КК найбільш застосовуваними є комплексна вхідна провідність і комплексні передаточні функції за напругою.

Комплексна вхідна провідність.

(8.9)

де

(8.10)

Більш зручною є нормована функція:

= (8.11)

Комплексна провідність контура безпосередньо визначає струм у ньому, бо:

Залежність повної провідності послідовного КК від частоти називається АЧХ контура. Більш зручною є нормативна АЧХ, або резонансна характеристика:

(8.12)

Якщо добротність контура збільшувати, то підсилюються його частотно-селективні властивості, що відповідає більш гострим резонансним кривим (рис. 8.4 а).

Залежність аргументу провідності (струму) контуру від частоти називається ФЧХ. З графіка ФЧХ (рис. 8.4 б) випливає, що при послідовний КК має ємнісний характер, при – індуктивний характер. При резонансіконтур має резистивний характер.

(8.13)

Резонанс у контурі досягається:

а) зміною частоти вхідного сигналу при незмінних параметрах контура;

б) настроюванням самого контура через зміну його індуктивності або ємності при незмінній частоті джерела вхідного сигналу. Технічно більш зручним є регулювати ємність С контуру; за певної ємності контура резонансна частота контурустає рівною частоті сигналу, і постає резонанс. Залежність амплітуди струму у контурі від значення його ємності С (або індуктивностіL) при заданій частоті джерела називається настроювальною характеристикою контуру (рис. 8.5). Біля резонансу ) настроювальна характеристика практично збігається з резонансною.

Рисунок 8.4

Рисунок 8.5

Розглянемо ряд параметрів, що характеризують відхилення режиму контура від резонансного.

Абсолютне розстроювання

Відносне розстроювання .

Ці параметри оцінюють відхилення режиму, зумовлене зміною частоти. Крім цього чинника, додатково зміну параметрів контура враховує такий інтегральний параметр, як узагальнене розстроювання:

(8.14)

У формулі (8.14) співмножник називається фактором розстроювання. Поблизу резонансу ):

Тоді узагальнене розстроювання за формулою (8.14):

(8.15)

Усі види розстроювань при резонансі дорівнюють нулю. Урахувавши формули (8.14) і (8.15) у формулах (8.12) і (8.13), одержимо вирази для нормованих частотних характеристик контура у функції узагальненого розстроювання:

(8.16)

(8.17)

Останнім двом виразам відповідають графіки АЧХ (рис. 8.6 а) і ФЧХ (рис. 8.6 б) послідовного КК.

АЧХ і ФЧХ на рис. 8.6 називається узагальненими частотними характеристиками. Вони є універсальними, бо описують частотно-селективні властивості всіх без винятку послідовних КК, і попри те, що вони не дозволяють оцінити вплив параметрів L, С на форму резонансних кривих, вони є зручними для порівняння контурів різних типів ( наприклад, послідовних і паралельних). До того ж застосування за аргумент цих функцій параметра дозволяє спростити розрахунки.

Рисунок 8.6

Комплексні передаточні функції за напругою

Вони відрізняються залежно від того, напруга на якому з елементів контура є вихідною чи (див. рис. 8.1).

КФ для активного опору:

= (8.18)

АЧХ і ФЧХ:

При резонансі , а відтак.

КФ для ємності:

=

(8.19)

АЧХ і ФЧХ:

При резонансі .

КФ для індуктивності:

(8.20)

АЧХ і ФЧХ:

При резонансі .

Графіки АЧХ , і наведені на рис. 8.7.

З характеристик випливає:

а) при резонансі напруги на реактивних елементах у Q разів перевищує вхідну напругу, а напруга на активному опорі дорівнює їй;

б) напруга на реактивних елементах досягають максимума на частотах, дещо зсунутих від резонансної частоти:

причому максимуми цих напруг однакові .

Втім для високо добротних контурів , і. Зазвичай вихідна напруга у послідовних КК знімається з ємності (параметриL і r у котушці індуктивності нероздільні).

Рисунок 8.7

3. Смугою пропускання послідовного КК називається діапазон частот поблизу резонансу, на межах якого амплітуда струму в контурі зменшується до рівня від максимального значення (потужність, що виділяється в контурі, зменшується вдвічі).

Різниця границь частот називається абсолютною смугою пропускання (рис. 8.8 а). Відносна смуга пропускання.

Граничні частоти смуги пропускання, як це видно з рис. 8.8 а, можна визначити як розв’язок рівняння:

Відтак . Звідси

і для смуги пропускання контура:

(8.21)

(8.22)

Рисунок 8.8

Селективністю контура називається здатність виділяти коливання в межах смуги пропускання і заглушати коливання поза її межами. Селективні властивості контура тим вищі, чим ближче його резонансна крива (рис.8.8 а) до прямокутної за формою (рис. 8.8 б). Тому селективність контура оцінюється коефіцієнтом прямокутності:

(8.23)

Розрахунки [1] показують, що для послідовного КК коефіцієнт прямокутності є величина постійна, не залежна від параметрів контура:

(8.24)

Оскільки в ідеальному випадку (рис. 8.8 б), то очевидно, що селективність послідовного КК невисока, і це обмежує його застосування.

Які ж є приклади застосування послідовних коливальних контурів?

1. Селективна резонансна система. Такою є вхідне коло радіоприймача (рис. 8.9 а). Вихідний сигнал знімається з ємності С, а вхідний індукується у контурі за рахунок магнітного зв’язку з антеною. Оскільки ЕРС вхідного сигналу вмикається послідовно з елементами контура (рис. 8.9 б), то цей контур є послідовним.

2. Загороджувальний фільтр (рис. 8.10). Контур шунтує навантаження на частоті гармоніки, яка заглушується. Заглушування тим ефективніше, чим більше ефект на даній частоті, тобто чим вище добротність контура.

Рисунок 8.9

Рисунок 8.10