3.3.2. Пересечение пирамиды с параллелограммом

На рис. 9 представлено решение задачи двумя способами.

Проведя вспомогательные фронтально – проецирующие секущие плоскости ₁, ₂, ₃, находим точки P, K, M, Q фигуры сечения первым способом, который подробно рассмотрен на примере пересечения призмы с треугольником (см. рис. 6).

Рассмотрим второй способ решения задачи.

Этот способ заключается в последовательном многократном решении задачи на построение линии пересечения двух плоскостей, которыми в данном случае являются плоскость параллелограмма и поочередно грани пирамиды (рис.9).

Решение основано на использовании вспомогательных секущих плоскостей, которые обязательно должны быть либо проецирующими, либо плоскостями уровня и пересекать обе заданные фигуры. На рис. 9 такими плоскостями являются плоскости ₁ и ₂. Это горизонтальные плоскости уровня (₁ и ₂ параллельны оси ОХ и, следовательно, параллельны плоскости ₁), одновременно пересекающие параллелограмм и грани пирамиды.

Построим линию пересечения параллелограмма EE₁D₁D и одной из граней пирамиды, например ACS. Для этого выполним следующие действия:

1. проведем вспомогательную плоскость ₁ и тем же способом, что и при решении задачи на пересечение призмы с треугольником (см. рис. 6), найдем фронтальную проекцию линии пересечения этой плоскости с параллелограммом l₁, проходящую через точки a и a₁, и проекцию l₂ линии пересечения плоскости с гранью пирамиды ACS;

2. построим горизонтальные проекции этих линий пересечения l₁ и l₂;

3. на пересечении горизонтальных проекций l₁ и l₂ находим горизонтальную проекцию точки, принадлежащей одновременно плоскости параллелограмма и плоскости, ограниченной гранью пирамиды ASC. Обозначим эту точку R и, проведя от нее линию связи до пересечения с ₁, найдем ее фронтальную проекцию R;

4. аналогичным путем проведем плоскость ₂,найдем горизонтальные проекции линий l₃, l₄ на пересечении которых получим горизонтальную проекцию второй общей точки N , а затем, проведя линию связи до пересечения с b₂¢¢, и фронтальную ее проекцию N ¢¢;

5. соединив точки R и N между собой, получим прямую RN , которая будет линией пересечения двух плоскостей – грани ASC и параллелограмма EE₁D₁D, так как имеет две общие точки, через которые можно провести только одну прямую. На рис.9 видно, что прямая RN полностью совпадает с прямой KM, полученной по методу пересечения прямой с плоскостью;

6. повторив ту же последовательность действий с использованием граней ABS и BSC, получим линии пересечения этих граней пирамиды с параллелограммом, совпадающие соответственно с линиями KP и MQ.

Следовательно, независимо от метода решения задачи мы получаем один и тот же результат.

Таким образом, фигуру сечения PKMQ можно получить, используя проецирующие плоскости ₁¢¢, ₂¢¢, ₃¢¢ или плоскости уровня b₁¢¢, b₂¢¢.

Пример оформления расчётно-графической работы приведён на рис. 11.

3.4.Определение видимости взаимного пересечения многогранника и плоскости

При определении видимости фигур выбираются несколько пар скрещивающихся прямых. В каждой паре одна из прямых должна принадлежать одной фигуре, например, многограннику, другая прямая – второй фигуре, т.е. плоскости.

Например, на рис.6 для определения видимости на фронтальной плоскости проекций рассматриваем скрещивающиеся прямые A¢¢C¢¢ и F¢¢F₁¢¢, используя конкурирующие точки 1¢¢ и 6¢¢. Проведем линии связи из этих точек на ₁, где видно, что по направлению взгляда перпендикулярно ₂ точка 1¢, принадлежащая прямой F¢F₁¢, находится ближе к наблюдателю, чем точка 6¢, принадлежащая прямой А¢С¢. Это значит, что прямая F¢¢F₁¢¢ будет на плоскости ₂ изображаться как видимая (сплошной толстой линией), а прямая А¢¢С¢¢ в этом месте – невидимая (штриховой линией).

Аналогично для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций рассматриваем скрещивающиеся прямые A¢C¢ и F¢F₁¢, используя конкурирующие точки 7¢ и 8¢. Проведем тонкую линию связи из этих точек на ₂, где видно, что по направлению взгляда перпендикулярно ₁ точка 8¢¢, принадлежащая прямой F¢¢F₁¢¢, лежит выше, чем точка 7¢¢, принадлежащая прямой А¢¢С¢¢. Следовательно, в этом месте на плоскости ₁ прямая F¢F₁¢ проходит над прямой А¢С¢, т.е. она видимая и будет изображаться основной сплошной толстой линией, а прямая А¢С¢ – невидимая и будет изображаться штриховой линией.

Таким образом, применяя конкурирующие точки, у которых одна пара проекций совпадает, а другая – нет, можно определить видимость фигур в любом месте чертежа (см.рис.9).

Следует помнить, что до решения задачи необходимо определить видимость ребер многогранника, а в конце решения – видимость фигуры сечения и плоскости (треугольника или параллелограмма) вместе и с учетом этого закрасить видимую часть заданной плоскости.

Пример оформления расчётно-графической работы на рис. 11.

Рис. 9.