2015_лекции / Лекция №1.1_2015
.pdf
Рекурсивная функция
Определение: Пусть существует машина Тьюринга M, которая находится в исходном состоянии e0. На вход этой машине M подается строка = 1 … . , считывает самый первый символ последовательности C.
Функция 1 … является рекурсивной, если выполняются следующие условия:
1.если определена на 1 … , тогда машина Тьюринга M остановится, и на выходе мы получим строку, соответствующую результату вычислений.
2.если не определена на 1 … , то машина Тьюринга M не остановится никогда.
(Рекурсивная функция – эффективно вычисляемая функция)
29.05.2015
Примитивно рекурсивные функции
Класс примитивно рекурсивных функций ρ (Черч) – это наименьший класс
всюду определенных функций: |
|
||||
|
Функция константы |
= . |
|
||
|
Функция следования |
|
= + 1. |
|
|
|
Функция выбора |
… |
|
= ; |
1 ≤ ≤ |
|
|
1 |
|
|
|
Операторы подстановки (суперпозиции) и примитивной рекурсии определяются следующим образом:
1. |
… |
= |
… |
|
, |
… |
|
, |
… |
|
, где - функция от k |
1 |
|
1 1 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
переменных, – функции от m переменных, рекурсивные функции, принадлежащая классу примитивно рекурсивных функций ρ
2.Если функции 1, … +1 1, … −1 являются примитивно рекурсивными, то функция f от k переменных, для которой выполняются следующие условия, тоже являются примитивно рекурсивной:
0, , … |
= , … |
2 |
2 |
+ 1, , … |
= , , , … |
|
, , … |
2 |
2 |
2 |
29.05.2015
Примитивно рекурсивные функции
Определение: Произвольная всюду определенная
функция является примитивно рекурсивной тогда
и только тогда, если существует 1 … = и это комбинация функций , так как она удовлетворяет правилам 1-3 или получена согласно правилам 4 и 5.
29.05.2015
Замечания по терминологии
Частично рекурсивная функция определяется аналогично примитивно рекурсивной, только к двум операторам суперпозиции и примитивной рекурсии добавляется ещё третий оператор — минимизации аргумента.
Оператор минимизации аргумента.
Пусть f — функция от n натуральных переменных.
|
, … |
= ( ), при условии , … |
−1 |
, = 0 |
1 |
−1 |
1 |
|
Общерекурсивная функция — частично рекурсивная функция, определённая для всех значений аргументов.
Задача определения того, является ли частично рекурсивная функция с данным описанием общерекурсивной или нет, алгоритмически неразрешима.
Интересно, что общерекурсивная функция не всегда является примитивно рекурсивной
29.05.2015
Замечания по терминологии
29.05.2015
Теоремы о рекурсивных функциях
29.05.2015
Понятие универсальной рекурсивной функции
Получив вход , , найдите (производя стандартное перечисление всех наборов инструкций).
Затем применить |
к входу , чтобы вычислить |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, когда |
|
даст выход, возьмите его как |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выход Ψ , |
= |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если |
|
− сходится; |
|
Ψ , = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится, если |
− расходится. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29.05.2015
Теорема об универсальной рекурсивной функции
29.05.2015
Проблема остановки
29.05.2015
Теорема об остановке
Такой не существует!!!!
29.05.2015