Определение условий устойчивости системы автоматического управления.

При исследовании САУ важно не только оценить устойчивость систе­мы, но и определить граничные значения параметров управляющего уст­ройства (параметры объекта управления считаются неизменными), при ко­торых сохраняется устойчивость системы, наметить пути устранения при­чин неустойчивости.

Для исследования устойчивости линейных непрерывных систем целесо­образно применять алгебраический критерий устойчивости Гурвица, предс­тавляющего собой совокупность необходимых и достаточных условий. Этим условиям должны удовлетворять коэффициенты и соотношение между коэффи­циентами характеристического уравнения исследуемой САУ

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n = 0.

Условия устойчивости по Гурвицу для систем, имеющих характеристи­ческие уравнения второй и третьей степени, имеют вид:

для n = 2 a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0; (1)

для n = 3 a₀ > 0, а₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0; (2a)

a₁a₂ - a₀a₃ > 0. (2б)

В общем виде характеристическое уравнение исследуемой системы можно представить в виде:

1 + W₀ (p)W_p(p) = 0.

Тогда характеристическое уравнение исследуемой в лабораторной ра­боте системы с ПИ-регулятором представляется следующим выражением

Т_иТ₁Т₂p³ + Т_и(Т₁ +Т₂)p² + Т_и(1+K_пK₀)p + K₀ = 0.

Поскольку все коэффициенты положительны, то необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов (2a), выполнено для всех рассматриваемых в данной работе типов регуляторов. Если коэффици­ент передачи регулятора выбран заранее (например, из условий техничес­кой реализации регулятора), то для обеспечения устойчивости системы требуется подобрать постоянную времени регулятора Т_и из условия (2б)

Т_и = K₀T₁T₂/[(T₁ + T₂)(1 + K_пK₀)]. (3)

При использовании И-регулятора система имеет следующее характе­ристическое уравнение

T_иT₁T₂p³ + T_и(T₁+T₂)p² + T_иp + K₀ = 0.

Область возможных значений постоянной времени интегратора опреде­ляется неравенством

Т_и > K₀T₁T₂/[T₁ + T₂]. (4)

Из сопоставления выражений (3) и (4) следует, что для системы с ПИ-регулятором условия устойчивости являются менее жесткими, т.е. пос­тоянная времени интегратора может изменяться в более широких пределах при сохранении устойчивости.

При включении П-регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок и, согласно критерию Гурвица, система устойчива при любых значениях параметров регулятора.

Следовательно, с точки зрения устойчивости, система с объектом второго порядка и П-регулятором имеет предпочтение перед системами с И- и ПИ-регуляторами, которые, повышая порядок системы, сужают область устойчивости.

Анализ точности системы автоматического управления.

Одним из показателей качества САУ является ее точность, которая оценивается величиной ошибки e(t) в различных режимах работы системы. Однако, из-за сложности определения e(t) в любой момент времени точ­ность системы принято оценивать по величине установившейся ошибки

e_уст = lim e(t).

t  

В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе при сту­пенчатом воздействии различают статические и астатические САУ.

Статическими называют такие САУ, в которых при постоянных внешних воздействиях по окончании переходного процесса сохраняется установив­шаяся ошибка не равная нулю.

Астатическими называют такие САУ, в которых при постоянных внеш­них воздействиях по окончании переходного процесса установившаяся ошибка отсутствует, т.е. равна нулю.

Величину установившейся ошибки можно вычислить на основании тео­ремы о конечном значении функции преобразованной по Лапласу

е_уст = lim e(t) = lim pE(p) = lim pG(p)Wе(p),

t   p  0 p  0

где E(p) = L e(t) - изображение ошибки;

G(p) = L g(t) - изображение задающего воздействия, в качестве которого принят ступенчатый сигнал

g(t) = A1(t) и G(p) = A/p;

We(p) = 1/[1 + W₀(p)W_p(p)] - передаточная функция ошибки.

Выражения передаточных функций для систем с различными типами ре­гуляторов можно представить в следующем виде:

• для ПИ-регулятора

We(p) = [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)] / [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)+K₀(K_пT_иp+1)];

- для И-регулятора

W_e(p) = [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)] / [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1) + K₀];

- для П-регулятора

W_e(p) = [(T₁p+1)(T₂p+1)] / [(T₁p+1)(T₂p+1) + K₀К_п].

Для И- и ПИ-регуляторов установившаяся ошибка вычисляется по формуле

e_уст = lim pA/pWe(p) = 0,

p  0

т.е. астатическая система при ступенчатом воздействии не имеет установившейся ошибки. В случае применения П-регулятора:

е_уст = A / [1 + К_пК₀].

Следовательно, если числитель передаточной функции системы по ошибке не содержит p0, то система является астатической и при ступен­чатом воздействии система не имеет установившейся ошибки. Поэтому, с точки зрения точности, системы с И и ПИ-регуляторами предпочтительнее систем с П - регуляторами.

Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности проти­воречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров управля­ющего устройства, которые при выполнении условий устойчивости обеспе­чивали бы требуемую точность регулирования.