- 14 -

Лабораторная работа № 1

Изучение статических и динамических свойств элементарных

Линейных звеньев сау по их математическим моделям на пк

Теоретические сведения

Статической характеристикой элемента САУ или самой САУ называют графическое или математическое отображение зависимости выходной переменной элемента или САУ от входной в установившемся режиме

X() = KU(),

где X() - установившееся значение выходной переменной; U() - установившееся значение входной переменной; К - (константа) - коэффициент передачи линейного звена или САУ.

Под динамическими характеристиками САУ или ее элементов подразумевают графическое или математическое отображение реакции элемента или САУ на скачкообразное, импульсное или синусоидальное воздействия.

Различают временные и частотные характеристики. К временным относят переходную и импульсную переходную функции.

Переходной функцией H(t) называют реакцию элемента или САУ на единичное ступенчатое воздействие

H(t) = X(t),

где X(t) является решением уравнения dX(t)/dt = F[X(t),U(t)];

X(t) - выходная переменная; U(t)=1(t) - входная переменная, представляющая собой единичную ступенчатую функцию.

Импульсной переходной (весовой) функцией W(t) называют реакцию элемента или САУ на импульсное воздействие:

W(t) = X(t),

где X(t) является решением уравнения dX(t)/dt = F[X(t),U(t)]; X(t) - выходная переменная; U(t)= (t) - входная переменная, представляющая собой импульсную функцию бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (дельта-функцию).

К частотным характеристикам относят амплитудно-частотную (АЧХ), фазовую частотную (ФЧХ), амплитудно-фазо-частотную (АФЧХ) и логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ).

Амплитудно-частотной характеристикой называют графическое или математическое отображение отношения амплитуды выходной переменной к амплитуде входной переменной в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до 

А() = А_вых()/А_вх(),

где А() - амплитудно-частотная характеристика; А_вых()  - зависимость амплитуды колебаний выходной переменной от частоты изменения входной переменной; А_вх() - зависимость амплитуды колебаний входной переменной от частоты. Обычно амплитуда колебаний входной переменной принимается постоянной, независящей от частоты.

Фазовая частотная характеристика представляет собой графическое или математическое отображение зависимости разности фаз колебаний входной и выходной переменных в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до 

F( ) = F_вых() - F_вх(),

где F() – фазовая частотная характеристика; F_вых() - фаза колебаний выходной переменной; F_вх() = 0 - фаза колебаний входной переменной. Фаза колебаний входной переменной принимается равной нулю независимо от частоты ее колебаний.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика (функция) представляет собой математическое или графическое отображение траектории конца вектора на комплексной плоскости, длина которого изменяется в соответствии с амплитудно-частотной характеристикой, а угол поворота в соответствии с фазо-частотной характеристикой. Эту траекторию называют годографом:

W(j) = А()exp[jF()],

где W(j) - амплитудно-фазо-частотная характеристика (частотная передаточная функция );

А() - амплитудно-частотная характеристика;

exp[jF()] = cos[F( )] + jsin[F()] - комплексная часть АФЧХ;

F() - фазо-частотная характеристика; j - мнимая единица.

АФЧХ может быть получена из передаточной функции W(p) путем замены оператора Лапласа «p» на оператор «j». В этом случае АФЧХ может быть представлена комплексной функцией в алгебраической форме:

W(j) = U() + jV(),

где U() - вещественная часть АФЧХ; V() - мнимая часть АФЧХ, которые представляют собой координаты конца вектора соответственно на вещественной и мнимой осях комплексной плоскости.

Через функции U() и V() также могут быть выражены и другие частотные характеристики:

А() = [U²() + V²()]^1/2; F() = arctg[V()/U()].

В некоторых случаях при исследовании САУ удобно пользоваться логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками, которые являются амплитудно-частотными характеристиками, представленными в логарифмическом масштабе L() = 20lg А().

Все приведенные зависимости представляют собой обобщенные математические модели элементов и систем управления. Под математической моделью в теории автоматического управления понимают математическое выражение, достаточно точно отражающее интересующее исследователя поведение реального объекта.

Поскольку при различных задачах исследования требуется знание различных свойств реальных объектов, создан определенный набор моделей для наиболее часто встречающихся элементов и систем управления.

Приведенные выше математические модели относятся к такому набору.

При анализе и синтезе САУ наиболее часто пользуются элементами:

1 Пропорциональное звено

2. Звено чистого запаздывания

3. Интегрирующее звено

4. Дифференцирующее звено

5. Апериодическое (инерционное) звено

6. Консервативное колебательное звено

7. Диссипативное колебательное звено

8. Реальное интегрирующее звено

9. Реальное дифференцирующее звено

10. Неустойчивое апериодическое звено