1.8 Практическое определение присоединённых масс и демпфирования

В общем случае определение коэффициентов исводится к решению пространственной волновой задачи о колебаниях тела произвольной формы на поверхности жидкости. Однако в самом общем виде такую задачу решить достаточно сложно, поэтому на практике применяется метод плоских сечений.

Суть метода «плоских сечений» заключается в следующем : судно рассматривается как удлиненное тело (В<<L, T<<L). При этом площадь любого поперечного (шпангоутного) сечения корпуса мала по сравнению с площадями продольных сечений. Это дает основание считать, что при движении судна в поперечном направлении поток воды вокруг корпуса распределяется как набор плоских потоков, которые происходят в плоскостях шпангоутного сечения в отдельности. Т.о., судно по длине разбивается на участки, гидродинамические характеристики рассчитываются для каждого шпангоута. Затем, суммируя полученные величины, получают гидродинамические характеристики судна в целом

_{; (1.75)}

.

На основе метода плоских сечений могут быть непосредственно вычислены присоединенные массы и коэффициенты демпфирования λ₂₂, λ₃₃, λ₄₄, λ₂₄ и μ₂₂, μ₃₃, μ₄₄ и μ₂₄. Определение перечисленных коэффициентов для отдельного шпангоутного сечения может быть осуществлено, например, на основании метода интегральных уравнений или комбинированного метода, основанного на совместном применении методов гидродинамических особенностей и конформного отображения. Рассмотрим основную суть каждого из этих методов.

1. Метод интегральных уравнений.

В соответствии с данным методом потенциал скорости представляется следующим образом :

, m=2, 3, 4 (1.76)

где -функция Грина.

(1.77)

;;. (1.78)

Для определения неизвестных интенсивностей используется интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

(1.79)

Уравнение записывается (1.79) для каждого вида качки:

Для численного решения системы интегральных уравнений шпангоутный контур разбивается на N прямолинейных сегментов. Поиск решения неизвестных функций потенциалов производится в средних точках сегментов. Это позволяет привести интегральное уравнение к следующему виду

. (1.80)

Учитывая комплексные формы интенсивности и функции Грина

; .

(1.81)

.

Решение системы осуществляется одним из способов решения систем линейных уравнений. После этого легко определить потенциалы φ_m.

Учитывая комплексную форму записи φ_m= φ_сm+jφ_sm, получим

. (1.82)

После определения потенциалов, коэффициенты присоединенных масс и демпфирования определяются следующим образом:

. (1.83)

Например:

;

; (1.84)

.

2. Комбинированный метод

В основу данного метода заложен метод гидродинамических особенностей, согласно которому потенциал φ₃ при вертикальной качке представляется как суперпозиция потенциала источника и симметричных мультиполей [6]:

, (1.85)

где

;

. (1.86)

Потенциалы φ₂ и φ₄ представляются как суперпозиции потенциала диполя и асимметричных мультиполей:

(1.87)

;

. (1.88)

Неизвестными величинами являются интенсивности источников, диполей и мультиполей Q_3,2,4 и a_m3,2,4 . Запишем граничные условия в каждой точке на контуре через сопряженные с потенциалами функции тока [6]:

, но , а.

Значит

.Ψ₂=z+C₂ (1.89)

C₂=ψ₂₀–z₀

Здесь индекс 0 означает , что функция тока и аппликата z вычисляются в точке пересечения шпангоута со свободной поверхностью.

Аналогично

, (1.90)

,

ψ₄=–(y²+z²) +C₄, (1.91)

С₄₌ ψ₄₀₊(y₀²+z₀²)

При этом

,

, (1.92)

(1.93)

.

Записывая выражения (1.89), (1.90) и (1.91) в каждой точке контура, получим 3 системы уравнений (для каждого вида качки). Данные системы решаются методом наименьших квадратов. При этом бесконечные ряды, входящие в выражения для мультиполей сокрощаются до конечного числа, зависящего от количества расчетных точек контура. М≤R–2; R–количество точек.

Для реализации данного метода необходимо иметь аналитическую аппроксимацию шпангоута, получаемую в результате его конформного отображения на внешность круга единичного радиуса. Льюисом была предложена функция, реализующая конформное отображение шпангоута, на внешность единичного круга и имеющая следующий вид [ 6]:

_{, (1.94)}

где ,

Отсюда можно выразить координаты контура :

y=A(Cosθ+a₁Cosθ+a₃Cos3θ)

z=A(Sinθ–a₁Sinθ–a₃Sin3θ). (1.95)

Входящие в (1.95) параметры конформного отображения контура определяются согласно следующим формулам :

,

,

, (1.96)

где

; ;.

Для вычисления остальных присоединенных масс методом плоских сечений используются следующие соотношения, справедливые для удлиненного тела:

(1.97)

Поэтому

φ₅= –ξφ₃

и во второй подвижной системе

φ₅=–хφ_{3 .} (1.98)

. (1.99)

Отсюда

φ₆=ξφ₂

и во второй подвижной системе

φ₆=хφ₂ (1.100)

Отсюда:

(1.101)

.

Аналогичным образом определяются соответствующие коэффициенты демпфирования.

Альтернативным вариантом определения присоединенных масс и демпфирования является решение трёхмерной задачи. Оно основано на применении метода интегральных уравнений, согласно которому

, (1.102)

где

,

_{, (1.103)}

_{J0(x)-функция Бесселя.}

Интегральное уравнение для каждого вида качки будет иметь вид

(1.104)

m=1,2,3,4,5,6

Для реализации данного метода смоченная поверхность судна разбивается на конечное число панелей (рис.1.10)

Рис.1.10 Разбивка смоченной поверхности судна на панели

Значение интенсивности отыскивается в средней точке каждой панели. Это позволяет заменить систему интегральных уравнений системой алгебраических уравнений:

. (1.105)

Данная система решается обычными методами решения линейных систем, например методом Гаусса.