1.2 Математическая формулировка задачи качки
Сформулируем гидродинамическую задачу качки корабля. Для этого введем следующие основные допущения :
жидкость однородна, несжимаема, идеальна;
движение жидкости – потенциальное (безвихревое).
Универсальной характеристикой безвихревого движения жидкости является потенциал скорости.
Обозначим через
–
потенциал скорости абсолютного движения
жидкости, определяемый в неподвижной
системе координат.
Данный потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа (уравнению неразрывности) во всей области, занятой жидкостью и ограниченной её свободной поверхностью и поверхностью качающегося корабля:
.
(1.6)
На каждой из этих поверхностей должны удовлетворятся граничные условия, которые делятся на кинематические и динамические.
Кинематическое граничное условие на каждой из поверхностей означает, что любая жидкая частица, находящаяся на этой поверхности, в процессе движения на ней и остается, т.е. граница жидкости является поверхностью тока.
Уравнения свободной поверхности жидкости и смочённой поверхности корабля имеют общий вид:
и
.
(1.7)
Тогда кинематические условия на этих поверхностях будут иметь вид:
и
. (1.8)
Последнее в задачах о движении твердого тела в жидкости часто представляют в виде равенства нормальных составляющих скорости жидкости и тела во всех точках его смочённой поверхности:
.
(1.9)
Динамическое граничное условие на свободной поверхности жидкости заключается в равенстве давления в точках свободной поверхности атмосферному Р=Ра.
Давление идеальной жидкости при безвихревом движении определяется интегралом Лагранжа-Коши:
(1.10)
Следовательно, правая часть (1.10) должна равняться Ра во всех точках свободной поверхности.
Кинематическое и динамическое условия на свободной поверхности можно объединить и перейти к единому граничному условию на этой поверхности.
Из условия
Р=Ра=const,
ясно, что
Поскольку
,
то
.
(1.11)
Давление определяется интегралом Логранжа–Коши. Поэтому находим из него все необходимые производные:
;
(1.12)
Кинематическое граничное условие на свободной поверхности дает:
;
;
.
(1.13)
Подставляя выражения для производных в (1.11) и группируя полученные члены по степеням производных потенциала скорости, получим объединённое граничное условие на свободной поверхности и жидкости:
(1.14)
Динамическое граничное условие на поверхности качающегося судна можно сформулировать исходя из условий динамического равновесия действующих на судно сил и моментов:
и
,
(1.15)
где
,
–главный
вектор и главный момент, действующих
на судно сил)
Кроме этого необходимо добавить условия на бесконечности– в характерных точках жидкости, бесконечно удалённых от начала координат:
на безграничном углублении под свободную поверхность потенциальное движение должно затухать
при ζ0→∞.
(1.16)
2) очень далеко от источника возмущений (корабля) вырождаться в заданную систему набегающих волн. Т.о., должны выполняться условия:
задан при
→∞.
(1.17)