2.3 Решение уравнений поперечной качки корабля на регулярном волнении

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений качки на регулярном волнении, на примере изолированных бортовой и вертикальной качки.

Уравнение бортовой качки на волнении имеет вид:

(2.57)

Главную и дифракционную части возмущающего момента М_ξw и М_ξd в общем виде можно представить как:

(2.58)

Разделим все члены уравнения (2.57) на коэффициент при второй производной:

(2.59)

где ,.

Уравнение (2.59) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение такого уравнения ищется в виде суммы двух решений:

θ=θ_ор+θ_чр

θ_ор –общее решение (правая часть равна нулю);θ_чр –частное решение.

Общее решение уравнения описывает свободные колебания судна, которые происходят на тихой воде и интенсивно затухают. Частное решение определяет вынужденные колебания. При рассмотрении качки судна на волнении, свободные колебания быстро затухают и их можно не рассматривать. Поэтому решение уравнения (2.59) будет состоять только из частного решения θ=θ_чр.

Частное решение уравнения (2.59) ищут в форме правой части:

θ=θ₁Cosωt+θ₂Sinωt. (2.60)

Продифференцируем дважды (2.60) и подставим производные в уравнение (2.59):

_;

_(2.61)

(2.62)

Приравняем коэффициенты при функциях Cosωt и Sinωt:

_{Отсюда получим систему уравнений:}

;

. (2.63)

Возведем, левые и правые части полученных уравнений в квадрат и сложим:

(2.64)

но

Следовательно, решение для амплитуды бортовой качки будет иметь вид:

(2.65)

Тангенс фазы определяется как

(2.66)

Подставим в (2.58) выражения для возмущающих сил (2.30) и (2.56).

(2.67)

Тогда

(2.68)

\ (2.69)

Отношение (2.69) называется модулем передаточной функции или коэффициентом динамичности, характеризующим способность корабля как динамической системы, реагировать на внешнее возмущение.

(2.70)

Соответствующее дифференциальное уравнение бортовой качки

_(2.71)

_{носит название полного уравнения изолированной бортовой качки. Однако , в практических расчетах бортовой качки часто пренебрегают дифракционной частью возмущающего момента, ввиду ее малости по сравнению с главной. Тогда уравнение (2.71) будет иметь вид :}

_(2.72)

Такое уравнение называется «укороченным» уравнением. Его решение легко получить из (2.69) и (2.70):

(2.73)

(2.74)

Зависимость =f(ω) называется амплитудно-частной характеристикой.

Рис.2.2 Амплитудно-частотная характеристика бортовой качки

Амплитудно-чстотная характеристика имеет следующие свойства:

1)при ω→0 →1;

2)при ω→∞ →0;

3)при резонансе ω_θ=ω.

Рассмотрим более подробно явление резонанса. При равенстве частот ω_θ и ω из выражения (2.73) будем иметь

(2.75)

Из выражения (2.75) видно, что увеличивая безразмерный коэффициент демпфирования можно снизить амплитуду бортовой качки.

С удалением от резонанса влияние демпфирования на величину исчезает. Поэтому увеличениепочти не скажется на дорезонансных и зарезонансных режимах качки. Величиныколеблются в довольно широких пределах: от 2–3 у судов оборудованных развитыми скуловыми килями ; до 7–8 у круглоскулых судов с плавными отводами.

Перейдем к уравнению вертикальной качки. С учетом (2.30) и (2.56) оно будет иметь вид :

_(2.76)

Разделим на коэффициент при второй производной:

_(2.77)

Решение уравнения будем искать в виде:

_(2.78)

Аналогично предыдущим выкладкам получим:

(2.79)

Решая систему (2.79), получим выражения для амплитуды и фазы вертикальной качки

(2.80)

. (2.81)

Численные расчеты показывают, что для водоизмещающих морских транспортных судов максимальная величина обычно колеблется от 1,2 до 1,8(рис .2.3)

Рис.2.3 Амплитудно-частотная характеристика вертикальной качки.

Теперь рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений поперечно-горизонтальной и бортовой качки судна, расположенного лагом к волнению. Данная система имеет вид :

(2.82)

где

(2.83)

Здесь в соответствии с выражениями (2.30)и (2.56), представим :

;

(2.84)

Решение системы (2.82) будем искать в следующем виде :

(2.85)

где - амплитуды поперечно-горизонтальной и бортовой качки,а- фазы.

Перепишем (2.85) следующим образом :

(2.86)

Дифференцируя (2.86) дважды, подставляя найденные производные в систему (2.82) и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях времени, получим следующую систему алгебраических уравнений :

(2.87)

Данная система решается обычными способами линейной алгебры. Например, методом Гаусса.

Решив систему (2.87) для ряда значений частот, можно найти амплитуды и фазы колебаний и построить соответствующие амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики.

Значения амплитуд и фаз определяют по следующим формулам :

(2.88)

Характерный вид амплитудно-частотных и фазово-частотных характеристик поперечно-горизонтальной и бортовой качки для транспортного судна представлен на рис.2.4,2.5

Рис.2.4 Амплитудно-частотные характеристики бортовой и поперечно-горизонтальной качки.

Рис.2.5 Фазово-частотные характеристики бортовой и поперечно-горионтальной качки.

Учет поперечно-горизонтальной качки позволяет уточнить определение амплитуд бортовой качки.

Многочисленные экспериментальные испытания показывают , что в процессе бортовой качки значительную роль играют силы вязкостной природы и особенно вихреобразования. Поэтому гидродинамические коэффициенты присоединенных масс и демпфирования не могут быть рассчитаны с достаточной степенью точности по вышеприведенному теоретическому методу. В связи с этим на практике, для определения коэффициентов используются экспериментальные данные, полученные на основе модельных испытаний в опытовых бассейнах. Так, для расчета гидродинамических характеристик бортовой качки можно воспользоваться эмпирическими формулами Авдеева - Анфимова., полученными при обработке данных большого числа модельных испытаний морских судов и судов внутреннего плавания в широком диапазоне отношения ширины к осадке [4 ] :

(2.89)

Между коэффициентами квадратичного и линейного сопротивления установлена следующая зависимость [1 ] :

, (2.90)

Отсюда легко определить

(2.91)