2.4 Продольная качка корабля на регулярном волнении.

При составлении уравнений продольной качки справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой мы предполагаем, что плоскости действий всех видов гидродинамических сил параллельны плоскости мидельшпангоута. Тогда главный вектор и главный момент действующих сил могут быть получены путем суммирования этих сил и моментов, вычисленных для элементарных отсеков.

Для вывода уравнений продольной качки корабля возьмем элементарный отсек длиной dx на расстоянии x от плоскости GYZ. Смещение ЦТ корабля будет равно ζ_g и корабль повернется на угол ψ. Тогда перемещение отсека будет равно ζ=ζ_g–xψ [2].

Рис.2.6 К определению сил, действующих на отсек

Объем отсека будет складываться из объёма dV₀ по начальную ватерлинию и дополнительно объёма dV_t, полученного в результате качки.

dV=dV₀+dV_t. (2.92)

При этом dV₀=ωdx, ω– площадь шпангоута.

dV_t=2y(ζ_g–xψ)dx. (2.93)

Следовательно,

dV=ωdx+2y(ζ_g–xψ)dx (2.94)

Наибольший интерес представляет продольная качка на встречном волнении, курсовой угол β для которого равен 180⁰.

Для встречного волнения уравнение волновой поверхности при отсутствии скорости хода можно записать:

(2.95)

Для вывода сил, действующих на отсек при качке используем принцип относительного движения. Отсек переместится на расстояние со скоростьюи ускорением. Соответственно силы гидромеханической природы будут равны:

; (2.96)

.

Объединяя в (2.96) составляющие, зависящие от волнения, получим выражения для возмущающей силы, действующей на отсек:

(2.97)

Остальные категории сил будут иметь вид :

. (2.98)

Кроме перечисленных сил на отсек будут действовать сила веса и сила инерции массы отсека

Сумма всех сил, действующих на отсек при продольной качке на тихой воде будет равна:

(2.99)

Момент сил, действующих на отсек, тогда можно записать:

(2.100)

На волнении для корабля в целом, сумма всех сил и моментов dF и dM должна уравновешиваться возмущающими силами и моментами F_возм. и M_возм, т.е.

(2.101)

где

; (2.102)

. (2.103)

; (2.104)

. (2.105)

В уравнение для М_∑ добавлен момент ρgV₀(z_g-z_c), возникающий из-за того, что ЦТ и ЦВ корабля расположены на разной высоте.

Определим интегралы, входящие в выражения (2.104)и (2.105) для F_∑ и М_∑.

=D– вес корабля;

–статистический момент сил веса, равен 0, т.к. начало координат Gxyz находится в ЦТ;

- объемное водоизмещение судна;

-площадь ватерлинии;

–статистический момент площади ватерлинии;

–демпфирующий момент при вертикальной качке;

–статистический момент сил демпфирования;

–присоединённая масса судна при вертикальной качке;

–статистический момент присоединённой массы;

–(2.106)

момент инерции массы корабля ;

–статистический момент, равный нулю, поскольку Xc=Xg;

–момент инерции площади ВЛ;

–коэффициент сопротивления килевой качки;

–присоединенный момент инерционной массы при килевой качке.

Подставив значения интегралов (2.106)в выражения для F_∑ и М_∑ (2.104) и (2.105), получим

(2.107)

Учитывая, что

(2.108)

После приведения подобных членов и смены знаков получим:

(2.109)

Вернемся к определению возмущающих сил моментов:

Учитывая, что

(2.110)

Подставляя (2.110) в (2.102) и (2.103), получим:

(2.111)

Введем обозначения:

(2.112)

Подставляя (2.112) в (2.111), окончательно получим:

_(2.113)

Подставляя в (2.101) выражения (2.109) и (2.113), уравнения продольной качки судна на встречном волнении без хода будут иметь вид:

(2.114)