5. Логарифмические частотные характеристики

5.1. Система координат. Простейшие ЛАХ

Существует два вида характеристик: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика(ЛФХ). Для построения ЛАХ находится выражение

L_w = 20|| = .

Значения для L_w выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Два бела соответствует увеличению мощности в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела.

Для построения ЛАХ используется система координат, рис.1.33 . По оси абсцисс откладывается угловая частота (размерность) в логарифмическом масштабе (рис.1.33,а). Для этой цели может использоваться специальная логарифмическая бумага или логарифмическая шкала.

Справка. Логарифмическая шкала неравномерная. Строится так: на осях прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисели:Через точки деления, имеющие числовые пометкиипроводятся прямые параллельные осями.

По оси ординат откладывается в децибелах. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб., что соответствует значению=1. Иногда по оси абсцисс откладывается не сама частота (рис.1.33,а), а ее десятичный логарифм, (рис.1.33,б ). Единицей приращения частоты при построении ЛАХ является одна декада. Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте. На рис. 1.33,а ось ординат пересекает ось абсцисс в точке. Необходимо помнить, что точкарасположена на оси частот слева в бесконечности, так как∞.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность их построения во многих случаях без объемной вычислительной работы. Это относится в основном к случаям, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Рассмотрим примеры построения простейших ЛАХ.

1. Пусть тогда . Логарифмическая характеристика представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (см. прямая 1 на рис. 1.33,а).

2

Рис.

. Рассмотрим случай, когдатогда. Нетрудно видеть, что- прямая линия. Если , то . Если то=0. Далее нетрудно построить прямую 2 (рис.1.33,а)c координатами и. Видно, что с увеличением частоты на одну декадууменьшается на 20, т.е. асимптота имеет отрицательный наклон равный 20дб/дк. Этот факт на графике отмечен цифрой «-20». Отметим, что частота, при которой(при этом) называется частотой среза и обозначается.

3. Далее рассмотрим случай, когда С опорой на предыдущий случай можем записать. Видно, что в данном случае ЛАХ представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном равным -40( прямая 3 на рис.1.33,а ).

4. Пусть , тогда. Если , то . Нетрудно увидеть, что- это прямая линия, проходящая через точку с координатамии. Линия имеет положительный наклон +20, рис.1.33,а.

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20. Эта прямая также строится по одной точке, имеющей координаты и .

5.2. Логарифмические характеристики динамических звеньев

Апериодическое звено 1 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.70)

При построении ЛАХ используется следующий прием. Рассматриваются выражения для АЧХ при частотах и.

Если , то, если, то. Частотаназывается сопрягающей и обозначается.

В первом случае , во втором случае .

На рис.1.34 представлены два варианта ЛАХ для рассматриваемого звена. Цифрой 1 обозначен вариант, соответствующий данным . Цифрой 2 – вариант, соответствующий данным с. Видно, что постоянная времени не оказывает влияния на наклон ЛАХ. Изменяется лишь значение для сопрягающей частоты. При Т = 1с., при..

Выполненное построение ЛАХ является приближенным. График ЛАХ составляется из прямых отрезков, называемых асимптотами. Приближенными являются соединения асимптот в окрестности сопрягающих частот. Например, в точке (рассматривается вариант, когда ). При точном построении точкарасполагается ниже на 3,03. Это замечание следует из следующего.

Вычислим значение в точкеДля этого используем значение частотыи формулу (1.70). В результате можем записать:, Ошибка в этой точке составляет 3.03. На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты точная ЛАХ будет отличаться от приближенной (асимптотической) менее чем на 3Поэтому в расчетах практически всегда применяются асимптотические ЛАХ.

Апериодическое звено 2 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.71)

Примем, что ии найдем сопрягающие частотыи. Расчет показывает, что.

Далее рассматриваются три случая.

1. Если (рис.1.35 ), то принимается, что в выражении (1.71)иВ этом случае формула (1.71) приобретает следующий упрощенный вид. Следовательно, на участке изменения частотыЛАХ может быть построена по выражению. ЛАХ на этом участке представляет собой прямую параллельную оси абсцисс , рис.1.35;

2. Если , то принимается, что, а. В этом случае формула ( 1.65) может быть представлена уже в другом упрощенном виде. Выражение для построения ЛАХ получается следующим. Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным наклоном 20дб/дек.;

3. Если , то принимается, чтои. В этом случае формула (1.71) может быть представлена также в упрощенном виде. Выражение для построения ЛАХ получается следующим. Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным углом наклона 40дб/дек.

Интегрирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.72)

Как и ранее построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Из выражения (1.72) видно, что сопрягающая частота здесь одна . Далее определяются упрощенные выражения для построения ЛАХ. Если , то принимается, чтои. Если, тои. Для частотассимптота. Для частотасимптота.

-40

L_w

На рис.1.36 изображена ЛАХ для интегрирующего звена. Видно, что характеристика содержит две асимптоты с отрицательными углами наклона - 20дб/дек и - 40дб/дек. Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) необходимо задатьи вычислить. Далее через точку с координатамиидо сопрягающей частоты проводится асимптота с наклоном -20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частотпроводится с отрицательным углом наклона 40дб/дек .

Дифференцирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

. (1.73)

Сопрягающая частота .

Если , то принимается, чтои. Если, то,и.

На рис. 1.36 изображена ЛАХ дифференцирующего звена.

Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) вычисляют значениепри. Далее через эту точку проводится асимптота с положительным углом наклона равным 20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частот) проходит параллельно оси частот.

5.3. Построение ЛАХ и ЛФХ для сложных передаточных функций

Из предыдущего материала следует, что при построении ЛАХ для различных передаточных функций выполняются одни и те же операции. Опыт построения ЛАХ для сложных передаточных функций позволяет сделать такой же вывод. Поэтому оказалось возможным составить общий порядок построения ЛАХ для передаточных функций вида

: (1.74)

1. Определение сопрягающих частот ;

2. Нанесение низкочастотной асимптоты ЛАХ

. (1.75)

Это уравнение прямой с отрицательным углом наклоном , где порядок астатизма в системе определяется числом интегрирующих звеньев в регуляторе. Продолжительность прямой - до первой сопрягающей частоты . Прямая при частотедолжна иметь ординату, гдекоэффициент передачи.

После каждой из сопрягающих частот изменяется наклон характеристикипо сравнению с наклоном, который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты. Наклон изменяется на – 20 дб/дек в случае апериодического звена, на – 40 дб/дек – в случае колебательного звена, +20 дб/дек – в случае дифференцирующего звена 1 порядка, +40 дб/дек в случае дифференцирующего звена второго порядка.

Пример. Передаточная функция системы имеет вид

, (1.76)

где ,,

Требуется построить ЛАХ.

В соответствии с приведенным выше порядком построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Данные сопрягающих частот ,,,наносятся на график , рис. 1.37. Далее на график наносится низкочастотная асимптота . Передаточная функция (1.76) относится к системе с астатизмом нулевого порядка. Это означает, что в уравнении (1.75) множительпоэтому низкочастотная асимптотапредставляет собой прямую параллельную оси частот. Асимптота заканчивается в точке. Сопрягающая частотапринадлежит апериодическому звену. Следовательно, следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный -20 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке. Сопрягающая частота=также принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный уже -40 дб/дек. Этот угол является результатом суммирования углов наклона предыдущей и рассматриваемой асимптот. Асимптота заканчивается в точке. Сопрягающая частотатоже принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь угол наклона – 60 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке. Сопрягающая частотапринадлежит дифференцирующему звену, поэтому угол наклона очередной и последней асимптоты увеличится на 20 дб/дек и составит – 40 дб/дек.

Для построения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) используется та же ось частот, что и для построения ЛАХ. По оси ординат откладывается смещение по фазе в градусах. Однако, принято точку «0» дб. совместить с точкой, где смещение по фазе равно – 180⁰. При этом отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный вниз, рис.1.37,а.

Рассмотрим пример. Пусть требуется построить ЛФХ для системы с передаточной функцией (1.76). Выражение для фазовой частотной характеристики имеет вид

() = - arc tan 10 – arc tan – arc tan 0.005 + arc tan 0.25. (1.77)

В таблице 1 представлены результаты расчета слагаемых выражения (1.77) и характеристики в целом на некоторых частотах. Данные таблицы перенесены на график (рис.1.37,а).

Обычно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики изображают на одном графике, так как по их взаимному расположению можно определять устойчивость системы. Подробнее эта возможность будет рассмотрена в материале об устойчивости САР.