7. Оптимизация параметров в системе МicroСap 7

7.1. Понятие о задачах оптимизации

Пусть имеются функции , заданные на множестве векторов. Кроме того на этом же множестве векторов определена функция цели .

Рассмотрим следующую задачу:

,

которая формулируется следующим образом: найти вектор такой, что он доставляет минимум функции цели и удовлетворяет ограничениям, наложенным на функции . Решением таких задач занимается теория нелинейного программирования или теория оптимизации. Если функцииявляются линейными относительно координат вектора, то задача (7.1) называется задачей линейного программирования, имеет единственное решение, которое находится так называемым симплекс-методом. Если функции являются выпуклыми, то задача (7.1) называется задачей выпуклого программирования, имеет единственное решение, алгоритмы поиска которого хорошо разработаны. В общем случае задача (7.1) имеет множество локальных минимумов и все существующие методы ее решения обеспечивают лишь отыскание вектора, доставляющего лишь один из локальных минимумов функции цели.

Все эти методы основаны на движении от точки (вектора) начального приближения к ближайшему вектору решения, доставляющему локальный минимум. Так как значение функции цели в точке решенияменьше чем в точке начального приближения, то говорят, что произошла оптимизация начального приближения.

Методы движения делятся на методы нулевого порядка, методы первого порядка, метода второго порядка и т.д. Методы нулевого порядка используют для своей реализации только значения функции. Методы более высокого порядка, кроме значений функции, используют значения производных первого и более высоких порядков. Методы нулевого порядка наиболее просты в реализации, но требуют много времени для поиска решения. Методы более высокого порядка намного эффективнее по скорости поиска решения, но вычисление производных бывает затруднительным, а иногда и невозможным.

Методы нулевого порядка основаны на алгоритме Гаусса-Зейделя или движении по координатам, суть которого состоит в поочередном и пошаговом изменении координат вектора в сторону уменьшения функции цели. Существуют различные модификации метода Гаусса-Зейделя, основанные на преобразовании системы координат в процессе поиска решения.

Один из таких методов нулевого порядка реализован в системе MicroCap 7. Рассмотрим, как можно использовать методы оптимизации в задачах проектирования РЭС.

Как показано в разделе 3.1 проектирование РЭС производится по ТЗ, в котором определены параметры РЭС f₁, … f_n и их граничные значения. Пусть по результатам расчетов требования к параметрам РЭС не удовлетворяются. Выберем из всех компонентов РЭС те из них, которые будем использовать в задаче оптимизации. Образуем из этих компонент вектор , который назовем вектором настройки. Тогда задача улучшения параметров РЭС состоит в нахождении вектора настройки , обеспечивающего выполнение неравенств

(7.2)

где a₁,… a_n – ограничения, наложенные на параметры РЭС в соответствии с требованиями ТЗ.

Разделим и умножим величины, стоящие в правой части неравенств, начиная со второго, на значение a₁:

(7.3)

Проделаем преобразование (7.3):

(7.4)

Введем новую переменную ε и рассмотрим следующую задачу оптимизации:

(7.5)

где p₂=a₁/a₂,…p_n=a₁/a_n - весовые коэффициенты, устанав-ливающие вес, т.е. важность каждого из ограничений в задаче (7.2).

Пусть по результатам решения задачи оптимизации найден вектор и величина ε* = a_1, где ≤1. Подставляя эти решения в (7.5), убеждаемся, что неравенства (7.2.) выполняются и задача улучшения параметров решена. Если в результате решения задачи коэффициент >1, то неравенства (7.2.) не выполняются и, следовательно, улучшить параметры не удалось.

Продемонстрируем постановку задачи и порядок оптимизации на примере активного полосового фильтра, синтез которого проведен в разделах 6.2, 6.3. Реализация схемы фильтра с реальными компонентами (рис. 6.9) привела к тому, что оказались не выполнимыми требования к параметрам фильтра в полосе пропускания (рис. 6.10). Как следует из требований (раздел 6.1) параметрами фильтра являются неравномерность усиления Ripple в полосе пропускания [9 кГц, 11 кГц] и разность А усиления в полосах задерживания и пропускания. В качестве компонентов настройки выбираем резисторы R4 и R10, которые образуют вектор =(R4, R10). Параметры фильтра должны удовлетворять следующим условиям:

(7.6)

В разделе 5.7 представлен набор имеющихся в МС 7 параметров, которые вычисляются по результатам анализа АС. Параметру Ripple соответствует YRange - диапазон изменения модуля коэффициента передачи в полосе пропускания. Параметру А соответствует разность усиления в дБ на частоте 13 кГц и частоте 10 кГц.

В терминах параметров, принятых в МС 7, задача оптимизации записывается в виде

(7.7)

В (7.7) весовой коэффициент р=2/20=0,1. Значение весового коэффициента может варьироваться для получения наилучшего решения. Во втором неравенстве записана разность усиления на крайней частоте полосы задерживания 13 кГц и средней частоте полосы пропускания 10 кГц. При этом неравенства для остальных частот полосы задерживания заведомо выполняются.