17. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.  Суть правила: предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

ВОПРОС№10. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций ,,.

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем егораз по переменной, а затем найдем значения многочлена и его производных в точке:

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени.

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности, где- любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки.

ВОПРОС№11.Разложение функции e^x

Так как (e^x)' = e^x, то производная любого порядка функции e^x равна e^x. При x = 0 функцияe^x и ее производные любого порядка равны одному. Таким образом, формула Маклорена для функции e^x имеет вид

Отметим, что для любого вещественного числа x остаточный член

В самом деле, если x – фиксированное число, то, начиная с некоторого положительного целого числа N, для любого n > N имеем

Следовательно

так как q < 1, а величина является постоянной при любомn. Таким образом, значения функции e^x могут быть найдены приближенно по формуле:

Разложение функции cos x

Находим последовательно производные от f(x) = cos x.

При x = 0 получаем

Следовательно, формула Маклорена для функции cos x имеет вид

Так как , то

для любого фиксированного вещественного числа x. Таким образом, значения функции cosx могут быть найдены приближенно по формуле

Разложение функции sin x

Формула Маклорена для функции sin x находится аналогично формуле Маклорена для cos x

Причем

для любого фиксированного вещественного числа x.

23. Первообразная и неопределенный интеграл. Их свойства.

П. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

П.2. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

24. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы вычисления

неопределенных интегралов: интегрирование по частям и замена переменной.

Методы интегрирования.