3) Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназывается скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

ВОПРОС №6 Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

Если функция f(x) имеет предел в точке a  ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда,

отсюда получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:

 в окрестности точки 0.

 – не существует.

6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

1) Пусть и— бесконечно малые при. 1. Если, то говорят, чтоявляетсябесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут. 2. Если, где—число, отличное от нуля, то говорят, чтои—бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малыеиназываются эквивалентными. Запись~означает, чтои—эквивалентные бесконечно малые.          Если, то это означает, что. Таким образом,является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с, т. е.3. Еслии—бесконечно малые одного и того же порядка, причем, то говорят, что бесконечно малаяимеет порядокпо сравнению с. Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1^o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , тои. 2^o. Бесконечно малые иэквивалентны тогда и только тогда, когда их разностьявляется бесконечно малой высшего порядка по сравнению си, т. е. если ,. 3^o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если  ,~,~, то.

2) Б.м. функциииназываютсяэквивалентнымиилиравносильными б.м. одного порядка при, если

Обозначают:при.

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

ВОПРОС№8. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства.

1) ТЕОРЕМА: (о предельном переходе в неравенстве.).

Пусть при всех n выполняется неравенство ,и переменныеи имеют пределы:

;

Тогда:, т. е..

Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства. Доказательство:  Предположим,что 

Выделим вокруг точек истоль малыеE – окрестности, чтобы они не пересекались.

По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные ипопадут в своиE – окрестности предельных точек.

Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.

Замечание:

Если при всех n выполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.

ВОПРОС№9. Теорема о связи функции, имеющей конечный предел, с бесконечно малой.

2) Теорема Для того, чтобы функция имела предел в точкеaравный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление :, где- бесконечно малая функция в точкеa .

ДОК. (1) Если , то функцияб.м.ф. Действительно,

(2) .

ВОПРОС№10 Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства).

Теорема Больцано — Коши

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть такжеи без ограничения общности предположим, чтоТогда для любогосуществуеттакое, что

ВОПРОС№11Теорема Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей, или хотя бы доказательства их существования.

Доказательство и формулировка[править | править вики-текст]

Пусть - ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множествоограничено, следовательно, потеореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через . Тогда. Действительно, так как— супремум множества, то для любогосуществует номертакой, что. Тогда для любогоимеем:. Тогдапри. Следовательно,. Теорема доказана.^[1]

ВТОРАЯ, МАТЬ ЕЕ, ЧАСТЬ

ВОПРОС№1 Производная функции. Уравнение касательной в точке к графику функции

1) Определение. Производной функции называетсяпредел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Геометрический и физический смысл. В без понятия какой задаче про скорость прямолинейного движения было получено V=lim S/t при t->0. Это равенство можно записать как V=S`<sub>t</sub> , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S от времени t. В этом заключается механический смысл производной. Можно сказать, что если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y` есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной. Допустим, в без понятия какой задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной k=tg=lim (y/x) при x->0. Перепишем это равенство в виде f `(x)=tg=k, т.е. производная f `(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке, абсцисса которой равна x. В этом заключается геометрический смысл производной.