11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие

дифференцируемости. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой

функции.

1) Дифференци́руемаяфу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

2) Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,

где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

3) Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

4) Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).

Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна приx = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

ВОПРОС№3. Правила дифференцирования сложной и обратной

Теория:

Пусть функция u=g(x) определена на множестве X и U — область ее значений.  Пусть, далее, функция y=f(u) определена на множестве U.  Поставим в соответствие каждому x из X число f(g(x)).  Тем самым на множестве X будет задана функция y=f(g(x)).  Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Если известна производная функции f(x), то производную сложной функции f(u) можно вычислить с помощью следующей формулы:

(f(u))'=f'(u)⋅u'

 

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно обосновать правило дифференцирования обратной функции.

Зная производную функции y=f(x), можно производную обратной функции x=g(y) найти по формуле:

xy′=1yx′

(разумеется, при условии, что f′(x)≠0).

ВОПРОС№6 Теорема Ферма.

Т Ферма: Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x₀Î(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f `(x₀)=0.

Или

Формулировка[править | править вики-текст]

Теорема утверждает, что^[1]:

Для любого натурального числа уравнение не имеет решений в целых ненулевых числах .

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Есличётно, тотоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравненияи при этомотрицательно, а прочие положительны, то, и получаем натуральные решенияПоэтому обе формулировки эквивалентны.

ВОПРОС№7 Теорема Ролля

  Теорема. Пусть функция  дифференцируема в открытом промежутке, на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения:. Тогда существует точка, в которой производная функцииравна нулю:.

Рис. 3. Теорема Ролляустанавливает условия существования хотя бы одной точкиc, в которой касательная к графику функции параллельна оси 0x. Таких точек может быть несколько.  Доказательство. Если  в промежутке, тово всех точках этого промежутка. Иначе наибольшее значениеM  функции  превышает ее наименьшее значениеm  в промежутке  . Поскольку на концах этого промежутка функцияпринимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений,M  или  m, достигается во внутренней точке  c  промежутка  . Тогда по теореме Ферма.

ВОПРОС№8. Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция  дифференцируема в открытом промежуткеи сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка, что

(13)

      Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке  , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка, в которой производная функцииравна нулю:

      Следствие 1. В частном случае, когда  , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю:. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.Следствие 2. Если  во всех точках некоторого промежутка, тов этом промежутке.        Действительно, пустьи– произвольные точки промежуткаи. Применяя теорему Лагранжа к промежутку, получим

Однако  во всех точках промежутка. Тогда

Учитывая произвольность точек  и, получаем требуемое утверждение.

ВОПРОС№9999 Теорема Коши

Формулировка

Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарныйвектору перемещения от до .

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю, аравна как раз необходимому числу.