Формулы Байеса и полной вероятности

Пусть В_i, P(В_i)>0, i = 1,n – попарно несовместные события, и если произошло некоторое событие А, то произошло и событие. Тогда Р(А) =Р(А/В_i) –формула полной вероятности.

В самом деле, событие А можно представить, как сумму попарно несовместных событий А = АВ₁+ АВ₂+ . . . + АВ_n(ведь если произошло А, то хотя бы какое-нибудь из В_iтоже произошло):

Р(А) = Р(АВ₁+ АВ₂+ . . . + АВ_n) = Р(АВ₁) + Р(АВ₂) + . . . + Р(АВ_n) = Р(В₁)*Р(А/В₁) + Р(В₂)*Р(А/В₂) + . . . + Р(В_n)*Р(А/В_n).

По определению условной вероятности Р(В_i/А) = Р(АВ_i)/Р(А) = Р(В_i)*Р(А/В_i)/Р(А). Подставим в это выражение формулу полной вероятности:

Р(В_i/А) = Р(В_i)*Р(А/В_i)/(Р(А/В_i)).

Полученное выражение – формула Байеса.

Рассмотрим примеры использования полученных формул.

Имеется три фирмы-поставщика деталей. На долю первой фирмы приходится 50% общего объема поставок, а на две другие – соответственно 30% и 20%. Из практики известно, что 10% деталей, поставляемых первой фирмой, - бракованные. Для второй и третьей фирм процент брака соответственно 5% и 6%. Из поставленных деталей наугад берется одна деталь. Определим 1) вероятность того, что эта деталь бракованная, и 2) вероятность того, что если деталь бракованная, она поставлена первой фирмой.

Определим события следующим образом. Событие А – деталь бракованная, событие В₁,– деталь получена от 1-й фирмы, события В₂и В₃– от 2-й и 3-й фирм соответственно. Тогда Р(В₁) = 1/2 (50%); Р(В₂) = 3/10; Р(В₃) = 1/5; Р(А/В₁) = 1/10; Р(А/В₂) = 1/20; Р(А/В₃) = 3/50. Нам необходимо определить Р(А) и Р(В₁/А).

Отметим, что если произошло событие А, то и событие (В₁+ В₂+ В₃) тоже произошло. Событие (В₁+ В₂+ В₃) вообще достоверно (Р(В₁+ В₂+ В₃) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃) = 1), оно всегда будет иметь место, так как других поставщиков, кроме этих трех фирм, нет; деталь обязательно поставлена одной или другой из них. События В₁, В₂ и В₃ попарно несовместны, так как деталь не может быть одновременно поставлена двумя разными фирмами. Следовательно, для определения Р(А) можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Р(А) = Р(А/В_i) = (1/2) * (1/10) + (3/10) * (1/20) + (1/5) * (3/50) = 1/20 + 3/200 + 3/250 = (50 + 15 + 12)/1000 = 0,077.

Для определения Р(В₁/А) воспользуемся формулой Байеса:

Р(В₁/А) = Р(В₁)*Р(А/В₁)/(Р(А/В_i)). Выражение в знаменателе уже подсчитано – это Р(А). Р(В₁/А) = (1/2)*(1/10)/0,077 = 50/770,65.

Другой пример. В бухгалтерию поступают пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Определим 1) вероятность того, что если первая взятая наугад из пачки накладная оказалась неправильно оформленной, то пачка окажется неудовлетворительной; 2) вероятность того, что если две взятые наугад накладные оформлены неправильно, то пачка неудовлетворительна.

Определим следующие события. С₁– пачка удовлетворительна, С₂– пачка неудовлетворительна (Р(С₁) = 0,9; Р(С₂) = 0,1); А – первая накладная оформлена неправильно, (Р(А/С₁) = 0,01; Р(А/С₂) = 0,05); В - обе накладные оформлены неправильно. Будем считать, что в пачке находится достаточно большое число накладных, чтобы считать, что вероятность появления второй неправильной накладной существенно не изменится и будет равна по прежнему 0,01 в удовлетворительной и 0,05 в неудовлетворительной пачке. На том же основании будем считать, что события А и появление второй неправильной накладной (обе накладные достаются из одной и той же пачки, В – произведение этих событий) независимы: Р(В/С₁) = 0,0001; Р(В/С₂) = 0,0025). Отметим, что события С₁ и С₂ несовместны. Событие С₁+ С₂ является достоверным.

Нам необходимо определить Р(С₂/А) и Р(С₂/В). Для этого воспользуемся формулой Байеса:

Р(С₂/А) = Р(С₂)*Р(А/С₂)/( Р(С₁)*Р(А/С₁) + Р(С₂)*Р(А/С₂)) = 0,1*0,05 / (0,9*0,01 + 0,1*0,05) = 0,005/0,014 = 5/140,357

Р(С₂/В) = Р(С₂)*Р(В/С₂)/(Р(С₁)*Р(В/С₁) + Р(С₂)*Р(В/С₂)) = 0,1*0,0025 / (0,9*0,0001 + 0,1*0,0025) = 0,00025/0,00034 = 25/340,735.