8.1.1 Использование правила условной вероятности
При работе со структурной схемой, изображенной на рисунке 8, используют другие методы. Один из таких методов состоит в том, чтобы повторно использовать следующее соотношение:
RS = Pr(SS½X работоспособный)Рr(X работоспособный) +Pr(SS½X отказавший)´Pr (SS½X отказавший),
где RS- ВБР системы;Pr(SS½X работоспособный) - ВБР системы, при условии, что блок Х работоспособен;Pr(SS½X отказавший) - ВБР системы, при условии, что элемент Х отказал.
Например, если на рисунке 8элементА отказал, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 11.
Рисунок 11
Поэтому Pr(SS½отказавший) =RB1RC1 +RB2RC2 - RB1RC1RB2RC2
Если элемент А работоспособен, структурная схема системы преобразуется в структурную схему, изображенную на рисунке 12.
Рисунок 12
Поэтому Pr (SS½А работоспособный) =RC1 +RC2 -RC1RC2
Следовательно:
RS =(RC1 +RC2 -RC1RC2) RA + (RB1RC1 + RB2RC2 - RB1RC1RB2RC2) ´ (1 - RA)
Если RC1 =RC2 = RC и RB1 = RB2 = RB, то вышеупомянутая формула упрощается до вида
, (8)
Вышеупомянутый метод допускается применять для проверки формул (5)-(7).
8.1.2 Использование Булевых таблиц
8.1.2.1 Общие положения
Пути работоспособности, изображенные с помощью структурной схемы надежности, могут быть описаны Булевыми формулами. Например, три элемента A, ВиС, соединенные параллельно (для работы системы достаточно одного работоспособного элемента), могут быть представлены структурной схемой надежности, изображенной на рисунке13, или описаны Булевым выражением:
SS = AÈВÈС, (9)
где SS - событие, состоящее в том, что система находится в работоспособном состоянии;
А, В и С - события, состоящие в том, что компонентыА, В и С находятся в работоспособном состоянии.
Рисунок 13
Однако Булевы события А, В и С в формуле (9) не могут быть заменены вероятностями.RA, RB, RС для получения формулы для определения ВБР системы, потому что выражение (9) является набором «пересекающихся» событий. Выражение (9) можно записать как сумму непересекающихся событий следующим образом
,
(10)
С позиций Булевой
алгебры выражения (9)
и (10) идентичны. Однако в выражении (10)
каждая букваА,
,
В,
,
С,
может быть заменена соответствующим
знаком ВБР -RA(1
-RA),
RB(1
-RB),
RC(1
- RC)
Для ВБР системы получаем следующую формулу
RS = RA (1 - RB)(1-RC) + (1-RA) RB (1-RC) + (1-RA)(1-RB) RC + RA (1-RB) RC + RARB (1-RC) + (1-RA) RBRC + RARBRC, (11)
Каждый более простой способ записи выражения (9) с помощью непересекающихся событий имеет вид:
, (12)
Таким образом,
RS = RA + (1 - RA)RB + (1 - RB)(1 - RA)RC, (13)
Упрощенные выражения (11) и (13) идентичны.
Процесс вывода формулы (11) может быть выполнен более подробно с применением таблицы истинности (таблица 1) для преобразования выражения (9) в выражение (10).
Таблица 1
|
Элемент |
Система | ||
|
A |
B |
C | |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Примечание - 1 - работоспособный элемент, 0 - отказавший элемент. | |||
Двигаясь по таблице сверху вниз, можно записать следующие выражения для определения работоспособных состояний системы:
Формула (10) является логическим объединением этих событий.
8.1.2.2 Применение таблицы истинности для примера структурной схемы, изображенной на рисунке 8. Перечисления всех комбинаций работоспособных и отказавших элементов системы приведены в таблице 2.
Таблица 2
|
Элемент |
Система | ||||
|
B1 |
B2 |
C1 |
C2 |
A | |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Примечание – 1 - работоспособный элемент, 0 - отказавший элемент. | |||||
По таблице 2можно выбрать комбинации работоспособных элементов и записать выражение для ВБР системы с помощью противоположных событий
,
(14)
Из выражения (14) следует, что
RS = (1 - RB1)(1 - RB2)(1 - RC1) RC2RA + (1 - RB1)(1 - RB2) RC1(1 - RC2)RA +,…,+ RB1RB2RC1RC2RA
Выражение (14) содержит 19 событий, соответствующих комбинациям работоспособности системы, которые необходимо суммировать, чтобы получить искомый результат. Из приведенного примера легко заметить, что выражение для ВБР, полученное на основе Булева подхода, очень скоро может стать необозримым.