Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 3 семестр / Прикл_матем / Фирсов А.Н._Вариационное исчисление (в учебник под ред. Волковой)

2.2. Вариационное исчисление

Вариационное исчисление как раздел математики восходит к письму И. Бернулли, опубликованному в июне 1696 года в журнале «Acta Eruditorum» (лат. «деяния ученых», основан в 1682 г. в Лейпциге). В этом письме И. Бернулли обратился к лучшим математикам своего времени с предложением испытать себя в решении задачи, «которая даст им возможность испробовать, хороши ли те методы, которыми они владеют, и как велика сила их ума».

Вскоре были даны три решения; первое принадлежало Я. Бернулли, второе – Г. Лопиталю, третье появилось в английском журнале без подписи, но в авторе И. Бернулли узнал Ньютона, по его львиным когтям.

Вот задача, предложенная И. Бернулли, называемая ныне задачей о брахистохроне. Даны две точки в одной и той же вертикальной плоскости. По какой (гладкой) кривой тяжелая материальная точка М под действием силы тяжести скатится, оставаясь в этой плоскости, из верхней точки в нижнюю в наименьший промежуток времени. Задачу можно поставить также следующим образом: какой формы должна быть крыша, чтобы

капли дождя скатывались с конька крыши в наименьший промежуток времени. Формально, задача ставится, в современном изложении, следующим образом. Пусть ОМА (рис. 1) – искомая кривая с «верхним концом» в точке О(0,0) и «нижним концом» в точке A(а,с). Пусть уравнение этой кривой будет y=y(x), 0 < x < a. Очевидно, y(0)=0, y(a)=c. Простой расчет показывает, что время Т скатывания

Рис. 1 материальной точки М под действием силы тяжести из точки О в точку А вдоль данной кривой (без учета трения) будет равно:

где g – ускорение силы тяжести. Обратим внимание читателя на то, что величина Т, называемая функционалом от y=y(x), зависит от поведения функции y(x) на всем промежутке изменения величины x: 0 < x < a, а не только в каких-то отдельных точках этого промежутка. При этом, на функцию накладываются как условие непрерывной дифференцируемости на всем промежутке, так и «краевые условия»

y(a)=c.

Необходимо, таким образом, найти непрерывно дифференцируемую функцию y(x), заданную на промежутке 0 < x < a, удовлетворяющую краевым условиям y(0)=0, y(a)=c, и такую, для которой функционал T=T(y) принимает наименьшее значение среди всех кривых такого типа.

Обобщая естественным образом эту задачу, мы приходим к так называемой

простейшей задаче вариационного исчисления, которая формулируется следующим образом.

Пусть F(x,y,p) – непрерывная и ограниченная функция в области

D a x b; y ; p .

1

Пусть W – множество функций y y(x) , непрерывно дифференцируемых на промежутке [a,b] и таких, что y(a) A, y(b) B (величины a, b, А, В – одинаковы для всех y). На этом множестве рассмотрим функционал

a

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции yˆ W ,

для которой функционал J ( y) принимал бы наименьшее для всех y W значение. Такую функцию обычно называют экстремалью функционала (1). Задачу отыскания экстремали функционала (1) в классе функций y W называют еще задачей с закрепленными

концами.

Решение этой задачи было дано в конце XVIII – начале XIX века в трудах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа и, тем самым, заложены теоретические основы классического вариационного исчисления. Ими же были вскрыты важнейшие связи вариационного исчисления с механикой и физикой, о чем пойдет речь несколько ниже.

Одним из наиболее ярких результатов начального периода развития вариационного исчисления явилась теорема Эйлера, согласно которой задача нахождения экстремали функционала (1) сводится к задаче отыскания решения обыкновенного

Уравнение (2) обычно называют уравнением Эйлера. К этим уравнениям, очевидно, следует добавить краевые условия y(a) A, y(b) B . Естественно также предполагать

существование и непрерывность производных, присутствующих в уравнении (2а). Основным звеном при выводе уравнения Эйлера является следующая лемма, принадлежащая Лагранжу.

Лемма 1. Пусть M(x) – непрерывная на промежутке [a,b] функция, а (x) - функция, непрерывно дифференцируемая на этом промежутке и обращающаяся в нуль на его концах: (a) (b) 0. Положим, что интеграл

b

M (x) (x)dx

a

обращается в нуль при любом выборе функции (x) с указанными выше свойствами.

Тогда функция M(x) тождественно равна нулю на [a,b].

Замечание. Теорема Эйлера, однако, не означает эквивалентность простейшей задачи вариационного исчисления и задачи нахождения решения (решений) уравнения Эйлера, а дает лишь необходимое условие. Решения уравнения Эйлера называют обычно

2

стационарными «точками» функционала (1), некоторые из которых могут быть экстремалями; значения функционала в стационарных точках называют стационарными. Кроме того, обращает на себя внимание тот факт, что решения уравнения Эйлера представляют собой дважды непрерывно дифференцируемые функции, в то время как функционал (1) имеет смысл и для функций, дифференцируемых лишь однократно. Эта последняя «нестыковка» была разрешена в 1879 году П. Дюбуа-Реймоном, который доказал, что всякая непрерывно дифференцируемая экстремаль функционала (1) является также дважды непрерывно дифференцируемой функцией. В основе доказательства Дюбуа-Реймона лежит следующая

Лемма 2. Пусть M(x) – непрерывная на промежутке [a,b] функция, а (x) - функция, непрерывно дифференцируемая на этом промежутке и обращающаяся в нуль на его концах: (a) (b) 0. Положим, что интеграл

b

M (x) (x)dx

a

обращается в нуль при любом выборе функции (x) с указанными выше свойствами.

Тогда функция M(x) постоянна на [a,b].

Обе приведенные выше леммы в математическом фольклоре заслужили название «основной леммы вариационного исчисления».

Основная задача вариационного исчисления, описанная выше, естественным

непрерывно дифференцируемы на одном и том же промежутке [a,b], причем на концах этого промежутка для всех . Обозначим множество

таких функций через W m . Введем, наконец, вектор-функцию y(x) ( y1(x),..., ym (x)) . В этом случае простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании вектор-

функции ˆ m , для которой функционал принимал бы наименьшее для всех

y(x) W J ( y)

y W m значение.

Аналогом уравнения Эйлера здесь будет система дифференциальных уравнений

предполагается существование и непрерывность всех, входящих в (4) производных. Подчеркнем еще раз, что условия (4) являются лишь необходимыми, но отнюдь не

3

достаточными для того, чтобы соответствующие решения y(x) системы (4) были

экстремалями функционала (3). Для проверки «экстремальности» соответствующих решений требуется дополнительное исследование (эта проблема аналогична задаче отыскания точек экстремума «обычной» функции в математическом анализе).

У. Гамильтон обратил внимание на следующее замечательно следствие вышеизложенной задачи, которое впоследствии дало толчок к развитию так наз. вариационных принципов механики. Рассмотрим находящуюся под действием потенциальных сил систему материальных точек с голономными связями. Пусть обобщенные координаты системы будут q1,q2 ,..., qn ; L L(t,q1,...,qn ,q1,...,qn ) -

координат, а потенциальная энергия - функцией времени и обобщенных координат q j .

Уравнения Лагранжа второго рода для такой системы имеют вид:

что, с точностью до обозначений, совпадает с системой уравнений Эйлера (4). Соответствующий функционал, порождающий систему уравнений (5), имеет вид:

начальное (t t0 ) и конечное (t t1) состояния системы соответственно.

Принцип Гамильтона (принцип наименьшего, или стационарного действия) гласит, что голономная система материальных точек, находящаяся под действием потенциальных сил, движется таким образом, что функционал действия (6) достигает наименьшего (точнее, стационарного) значения на истинных траекториях материальных точек, составляющих систему.

Таким образом, принцип Гамильтона может быть положен в основу классической механики, а задачу решения уравнений Лагранжа (5) (соответственно уравнений Эйлера (4)) можно заменить задачей непосредственного нахождения стационарных точек функционала (6) (соответственно, функционала (3)). Методы, позволяющие это делать, носят название прямых методов вариационного исчисления. К таким методам, в частности, относится ряд численных методов вариационного исчисления.

Аналогия простейшей задачи вариационного исчисления с классической механикой прослеживается и в так называемой задаче Лагранжа, или задаче нахождения условного экстремума функционала (3). Именно, поставим задачу отыскания экстремума

4

где все i ( y1, y2 ,..., ym ) 0 - непрерывно дифференцируемые функции, и матрица Якоби этих функций имеет ранг, равный k (по числу функций i ):

Условие (8) позволяет из системы уравнений (7) выделить n m k независимых переменных y js , s 1,2,...,n , через которые могут быть выражены остальные k

переменных y j . Если обозначить эти независимые переменные y js через qs , s 1,2,..., n ,

то наша задача сведется к простейшей («безусловной») задаче вариационного исчисления для функционала типа (6). Ясно, что все стационарные точки соответствующего функционала будут удовлетворять условию (7).

Частным случаем является так называемая задача о геодезических: среди всех гладких кривых, лежащих на многообразии и соединяющих две заданные точки, найти кривую наименьшей длины. Такие кривые называются геодезическими. В частности, эта задача тесно связана с задачей о распространения света в общей теории относительности.

будем считать общей для всех рассматриваемых поверхностей . Иными словами, все функции z z(x, y) предполагаются имеющими одинаковые значения в

.

Простейшая задача вариационного исчисления для функционала (9) ставится следующим образом: найти функцию z z(x, y) (т.е. поверхность ) такую, чтобы для нее данный

функционал принимал экстремальное (т.е. наименьшее или наибольшее) значение среди всех функций описанного выше типа.

5

Относительно функции F(x, y, z, p,q) будем предполагать, что она ограничена и дважды непрерывно дифференцируема в области {(x, y) ;(z, p, q) R3}. Рассуждения, аналогичные проводимым обычно при выводе уравнений Эйлера (2, 2а) приводят к следующему утверждению: всякая экстремаль zˆ zˆ(x, y) функционала (9)

удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

Уравнение (10), как и предыдущие подобные уравнения, носит имя Леонарда Эйлера1. Обобщение этих результатов на случай бόльшего числа независимых переменных не представляет особого труда.

В развернутом виде уравнение (10) выглядит так:

Примером подобной задачи может служить известная задача о нахождении гладкой поверхности минимальной площади, «натянутой» на заданную простую гладкую

а это, как легко видеть, и есть наш искомый функционал (9). Дальнейшие действия описаны выше.

1 Здесь нам представляется уместным написать несколько слов об этом великом человеке. Леонард Эйлер (1707-1783) - швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внесший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Учился в Базельском университете, где его руководителем был Иоганн Бернулли. Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Академик Петербургской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук. Почти полжизни провел в России, где внес существенный вклад в становление российской науки. С 1731 по 1741, а также с 1766 года до конца своей жизни был академиком Петербургской академии наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почетным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Эйлер был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике на немецком языке гласила: «Здесь покоятся останки знаменитого во всем свете Леонарда Эйлера, мудреца и праведника». В 1957 г. прах великого математика был перенесен в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры, поблизости от могилы М. В. Ломоносова.

6

Функционально-аналитический подход к задачам вариационного исчисления.

Как мы видели, вариационное исчисление – это раздел математики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при различных ограничениях, накладываемых на эти функции. Используемый при этом язык описания и инструменты исследования могут быть весьма разнообразны, и заимствованы из теории дифференциальных уравнений, математической физики, функционального анализа и других разделов математики. Большое значение приобрело направление, родившееся внутри собственно классических вариационных задач, где исследование экстремумов проводится «методом вариаций», т.е. методом малого возмущения аргументов и функционалов. Современное вариационное исчисление включает в себя и задачи теории оптимального управления.

Однако, функциональный анализ, в силу его большой общности, универсальности и удобства языка и методов, дает возможность использовать их для решения различных задач вариационного исчисления, рассматривая эти задачи с единой точки зрения. Ниже мы постараемся проиллюстрировать сказанное. Напомним, прежде всего, некоторые определения, важные для дальнейшего. Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиями векторного, метрического и нормированного, в частности, евклидова и гильбертова пространств, включая понятия полноты и сепарабельности, в объеме стандартных курсов математики хорошего технического вуза, а также с понятиями и основными свойствами линейных ограниченных и замкнутых операторов.

Определение 1. Функционалом мы будем называть отображение произвольного множества X в множество действительных (R) или комплексных (С) чисел.

Если множество X наделено структурой векторного пространства, метрического пространства, упорядоченного множества, то возникают соответственно важные классы линейных, непрерывных, монотонных функционалов. В вариационном исчислении

Определение 3. Полное бесконечномерное сепарабельное евклидово пространство

H называется пространством Гильберта, или гильбертовым пространством.

Важным следствием условия сепарабельности гильбертова пространства является факт существования в нем (счетной) полной ортонормированной системы элементов.

Следующая теорема дает одно из важнейших свойств гильбертовых пространств. Теорема 1. Пусть 1, 2 ,... - полная ортонормированная система элементов в

гильбертовом пространстве H . Тогда всякий элемент x H единственным образом

представляется в виде ряда Фурье x ck k , где ck (x, k ) , и ряд сходится по норме.

k 1

При этом имеет место равенство Парсеваля ck 2 x 2 .

k 1

7

Обратимся теперь собственно к обобщенной постановке задач в вариационном исчислении. Начнем с понятия вариации. Вариация – термин, введенный в математику в 1762 г. Ж. Лагранжем для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод вариаций – метод исследования экстремальных задач, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяется функционал. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум функционала (отсюда и название вариационное исчисление).

Пусть X - линейное нормированное пространство, M X и функционал f -

действительный, т.е. отображает множество M в множество действительных чисел. Это предположение здесь оправдано, поскольку далее речь пойдет об экстремумах функционалов, а множество комплексных чисел не является упорядоченным.

Пусть, далее, x M , и линейное2 множество Vx X таково, что для любых достаточно малых по норме элементов v Vx сумма x v M (для разных элементов x M множества Vx могут различаться). Такие элементы v в вариационном исчислении обычно называются вариацией независимой переменной x и обозначаются символом x . Выбор соответствующих множеств M и Vx является важным этапом в постановке и

где x (v) - линейный ограниченный (т.е. непрерывный) функционал от переменной v на

x , а не x . В традиционной для вариационного исчисления - символике соотношение (13) запишется так:

дифференцируемым по Фреше в соответствующей точке.

В качестве примера рассмотрим функционал (1) простейшей задачи вариационного исчисления. Роль множества M играет здесь множество W , а роль множества Vx - множество непрерывно дифференцируемых на промежутке [a,b]

функций, принимающих на концах этого промежутка нулевые значения. Простые расчеты, при соответствующих предположениях о гладкости подынтегральной функции

2 Множество называется линейным, если любая конечная линейная комбинация элементов этого множества также является элементом этого множества.

8

при том же краевом условии. Поскольку функционал (17) содержит только первые производные от искомой функции, а уравнение (15) требует наличия у функции u(x, y)

вторых производных, естественно, возникает следующий вопрос: будет ли элемент uˆ , реализующий минимум функционала (17), также иметь вторые частные производные. Для функционалов от функций одной переменной этот вопрос положительно решается с помощью леммы 2 (Дюбуа-Реймона). Для функций многих независимых переменных ответ на этот вопрос оказывается значительно более трудным и неоднозначным. Не вдаваясь в детали и отсылая читателя за подробностями к книге С.Г. Михлина «Проблема минимума квадратичного функционала» (М.-Л.: ГИТТЛ, 1952), укажем на один из возможных подходов к постановке задачи интегрирования уравнения (15), а именно: назовем обобщенным решением уравнения (15) экстремаль uˆ(x, y) функционала (17),

удовлетворяющую краевым условиям (16). В упомянутой книге С.Г. Михлина указаны условия, при которых такая функция будет дважды непрерывно дифференцируема и, следовательно, будет «обычным» решением уравнения (15). Мы, однако, сосредоточимся на нахождении обобщенного решения, ибо процедура его построения, с одной стороны, хорошо иллюстрирует возможности функционально-аналитического подхода, а с другой – дает нетривиальный пример одного из прямых методов вариационного исчисления (т.е.

гильбертовом пространстве это не так. Мы далее будем рассматривать только вещественные гильбертовы пространства, т.е., при необходимости, симметричность положительного оператора будет оговариваться особо.

Имеет место следующая замечательная теорема.

Теорема 3. Пусть A - положительный симметричный оператор в гильбертовом

Тогда:

1)уравнение (18) имеет не более одного решения;

2)если уравнение (18) имеет решение, то это решение сообщает функционалу

наименьшее значение. Обратно, элемент, реализующий минимум функционала (19), удовлетворяет уравнению (18).

3 Напомним, что множество D H называется плотным в H , если его замыкание совпадает с H .

10