Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 3 семестр / Прикл_матем / Фирсов А.Н._Вариационное исчисление (в учебник под ред. Волковой)
.pdf
В качестве примера вновь рассмотрим уравнение Пуассона (15):
|
2u |
|
2u |
|
|||
u |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
||
С прежним краевым условием (16). В качестве гильбертова пространства H возьмем вещественное пространство квадратично суммируемых функций, заданных на : L2 () . Напомним, что в этом пространстве скалярное произведение и норма задаются формулами
(u,v) u(x, y)v(x, y) dxdy, |
|
|
|
u |
|
|
|
2 u2 (x, y) dxdy . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В качестве оператора A возьмем оператор , а в качестве его области определения D – |
|||||||||||||||||
множество функций C2 ( |
|
|
дважды непрерывно дифференцируемых на |
|
и равных |
||||||||||||
|
) , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю на границе S множества . Можно доказать, что замыкание C2 ( ) L ( ) , т.е. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
область определения нашего оператора плотна в H L2 () . Имеет место |
|||||||||||||||||
Теорема 4. Оператор |
A - это симметричный положительно определенный |
||||||||||||||||
оператор на своей области определения D C2 ( ) .
Таким образом, в рассматриваемом случае справедлива теорема 3, из которой заключаем, что задачу отыскания решения уравнения Пуассона (15) с краевыми условиями (16) можно заменить задачей нахождения минимума функционала G(u) при
тех же краевых условиях (см. (17)).
Вернемся теперь к общей постановке задачи о минимуме функционала (19) в условиях теоремы 3. Опишем алгоритм «прямого» отыскания точки, доставляющей минимум этому функционалу, следуя упомянутой выше книге С.Г. Михлина.
Итак, пусть A - положительно определенный (см. Определение 5) симметричный оператор в вещественном гильбертовом пространстве H с областью определения D , плотной в H . На множестве D определим новое скалярное произведение [u,v] , полагая
[u,v] ( Au,v); |
u D, v D . |
|
|
(20) |
||||||||||||
Нетрудно проверить, что в силу такого определения |
D превращается в новое |
|||||||||||||||
гильбертово пространство, которое мы будем обозначать через H A . Норму в |
H A будем |
|||||||||||||||
обозначать символом |
u A , так что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
u |
2 |
( Au,u); |
u D . |
|
|
(21) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из положительной |
определенности оператора |
A |
(Определение 5) |
вытекает |
||||||||||||
следующее важное соотношение между нормами в H и H A : |
|
|
||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
1 |
u |
|
, |
u H |
A |
. |
|
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если пространство |
H A окажется неполным, то мы обычным способом пополним |
|||||||||||||||
его. Множество D при этом будет плотным в H A . |
Имеет место следующая важная |
|||||||||||||||
теорема, принадлежащая К. Фридрихсу. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема 5. Все элементы пространства H A принадлежат также и пространству H .
Иными словами, пополнение пространства H A можно произвести за счет элементов
пространства H .
Обратимся теперь к нашей основной вариационной задаче для функционала (19):
F(u) ( Au,u) 2(u, f ) ,
и несколько изменим ее постановку, т.к. правая часть (19) определена только на множестве D , а на этом множестве минимум функционала F (u) может и не достигаться, так как множество D не полно. Поэтому, мы преобразуем правую часть (19) таким образом, чтобы функционал F (u) можно было доопределить на всем пространстве H A .
С этой целью заметим, что если |
f - фиксированный элемент из H , а u - произвольный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
элемент из H A , то (u) ( f ,u) |
- ограниченный функционал на H A , поскольку, в силу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулы (22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(u) |
|
|
|
( f ,u) |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но тогда по известной теореме Ф. Риса, существует единственный элемент u0 H A такой, что
(u) (u, f ) u,u0 , |
u H A . |
(23) |
Функционал (19) можно теперь переписать в виде |
|
|
F(u) u,u 2 u,u0 . |
(24) |
|
Формула (24) первоначально установлена для |
u D , но правая часть (24) имеет смысл |
|
для всех u H A . Таким образом, мы расширяем функционал F (u) на все пространство
H A , и ищем минимум F (u) на H A . В этом и состоит обобщенная постановка
вариационной задачи. Но эта задача решается без особого труда. Действительно, формулу (24) легко привести к виду
F(u) u u0 ,u u0 u0 ,u0 u u0 |
2 |
u0 |
2 , |
|
(25) |
|
|
|
A |
|
A |
|
|
откуда видно, что минимум F (u) достигается при |
u u0 , |
и |
этот минимум равен |
|||
min F(u) u |
2 . |
|
|
|
|
|
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осталось ответить на вопрос, как построить элемент |
u0 , |
решающий основную |
||||
вариационную задачу. Поскольку H A - гильбертово пространство, |
то в нем существует |
|||||
полная ортонормированная система (последовательность) элементов n |
. Тогда, в силу |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
теоремы 1, всякий элемент пространства H A , в частности, |
элемент u0 , |
реализующий |
||||
минимум функционала F(u) u,u 2(u, f ) , можно разложить в ряд Фурье |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 u0 ,n n , |
|
|
|
|
(26) |
n 1
сходящийся в метрике пространства H A . Полагая в формуле (23) u n , получим
u0 , n ( f , n ) .
12
Подставив это соотношение в (26), получим формулу
|
|
u0 ( f ,n ) n , |
(27) |
n 1
определяющую решение основной вариационной задачи для функционала (19). Ряд (27) сходится в метрике пространства H A и, тем более, в метрике пространства H .
В заключение нашего краткого обзора предмета и методов вариационного исчисления, укажем на некоторые учебные пособия, в которых можно найти, как подробное изложение представленных выше результатов, так и богатый дополнительный материал.
Н.М. Гюнтер. Курс вариационного исчисления: Учебник.- СПБ.: Изд-во «Лань», 2009; И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление: Учебник.- М.: ГИФМЛ, 1961; С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике.- М.: «Наука», 1970; В.А. Троицкий. Вариационное исчисление и оптимальное управление.- СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006.
13