Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

допзанятие 1 20_02_2016

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
488.25 Кб
Скачать

СПбГУ Экономический факультет Адаптационная математика

1 курс 2 семестр 2015/2016 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна

ЗАНЯТИЕ 1. (20.02.2016, 13.1514.30 (ПрЗан новые задачи) (10мин перерыв) 14.40-15.40 (Конс по пройденному материалу, «старые» задачи с другими данными), 3 ак.ч. )

Тема 1. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей типа

0

и

 

0

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

lim

f x

и т.д.

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

x a

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределенности типа 1 ,

00 , 0 раскрываются с

помощью предварительного логарифмирования и

нахождения

предела

 

логарифма

степени

uv ev ln u

u 0, v 0

 

 

 

 

 

 

Действительно ev ln u

eln uv

eloge uv uv

 

Напоминание:

 

 

 

 

 

 

 

Первый замечательный предел lim

sin x

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй замечательный предел

 

 

 

 

1

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

lim 1

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении примеров будем иметь ввиду:

 

lim

ln 1 x

1

(1)

 

 

x 0

x

 

 

 

 

 

lim

ax 1

ln a

(2)

 

x 0

x

 

 

 

 

 

lim

1 x m 1 m

(3)

x 0

x

 

 

 

 

 

Таблица эквивалентных б.м. величин при x 0

1.sin x ~ x

2.arcsin x ~ x

3.tgx ~ x

4.arctgx ~ x

5.ex 1 ~ x

6.ax 1 ~ x ln a

7.ln 1 x ~ x

8.

log a 1 x

~

 

x

 

 

ln a

 

 

 

9.

1 x k 1 ~ kx

10.

1 cos x ~

x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Неопределенности бывают

00 , , ,0 ,00 ,1 , 0

2

Таблица пределов функций

(можно посмотреть в интернете)

3

4

5

Задача 1.1 (правило Лопиталя+ еще 2 способа)

Найти предел ф-ции

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

3 1 x 1

 

0

?

 

x

 

0

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсказка.

1 сп. (по таблице эквивалентных б.м. величин)

6

1 x k 1 ~ kx

2 сп. (домножить на недостающую скобку)

 

 

n ,an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1

 

в частности, a3 b3 a b a2 ab b2 . Заметим,

 

что в числителе получится разность кубов, если

 

умножить числитель и знаменатель на

 

 

недостающую скобку.

 

 

a5 b5 a b a5 1 a5 2b a5 3b2 a5 4b5 2 b5 1

 

 

3 сп. (правило Лопиталя)

 

 

 

f x

 

 

 

 

lim

lim

f x

и т.д.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x a

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 13

Задача 1.2 (правило Лопиталя + еще 1 способ)

Найти предел ф-ции

lim

sin 2 x 2sin x 1

 

0

?

sin 2 x sin x 2

 

 

x 2

 

0

 

Подсказка.

1 сп.(правило Лопиталя)

2 сп. (разложить на множители относительно sin x и сократить)

7

Ответ: 0

Задача 1.3 (правило Лопиталя + еще 1 способ)

Найти предел ф-ции

lim

ex e x

 

 

0

?

ln 1 x

0

x 0

 

 

Ответ: 2

Задача 1.4 (правило Лопиталя)

Найти предел ф-ции

 

 

 

1 x 1

1 ?

lim 1

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Подсказка.

uv ev ln u u 0, v 0

 

lim (v ln u )

u 0, v 0

lim uv ex x0

x x0

 

1

сп. (правило Лопиталя)

2

сп. (таблица эквивалентных б.м.величин)

Ответ: e 1

Задача 1.5 (правило Лопиталя)

Найти предел ф-ции

 

1

 

1

 

1

 

?

lim

 

 

 

 

 

x 0

x

thx

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Подсказка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразовать к

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

shx

 

es e x

 

 

 

thx

shx

 

1 th2 x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x

2

 

 

 

 

chx

 

chx

es e x

 

 

thx

shx

1 tg 2 x

1

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

2

 

 

 

 

 

chx

 

 

ch2 x sh2 x 1

В процессе числитель и знаменатель разделить на x2

Показать, что

lim thx 1

x 0 x

Вспомнить, что

lim tgx 1

x 0 x

Ответ: 32

Задача 1.6 (правило Лопиталя)

Найти предел ф-ции

lim xx x 1 ?

x 0

Подсказка.

9

uv ev ln u u 0, v 0

lim uv

 

lim (v ln u )

u 0, v 0

 

ex x0

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

lim xx

x

 

lim x x lim ln x

1 e1 1

1

 

1 ex 0 x 0

x 0

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1

Формула Тейлора. Формула Маклорена.

] f x диф (n+1)-раз в некот интер сод a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

n

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x f a

 

f a

x a

 

 

 

a

x a 2

 

 

 

x a n R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где R

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

, где лежит межу

 

 

 

 

 

n

1 !

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точками a и x, т.е. a x a ,0 1

 

 

 

 

 

 

 

При a 0 получаем формулу Маклорена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x f 0

 

f

0

x

f 0

x

2

 

f n 0

x n

 

 

f n 1 x

x n 1 ,0

1

 

1!

 

2!

 

 

 

 

n!

 

 

n 1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

ex 1 x

x2

 

xn

 

o xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

x5

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

x2n 1

 

o x

2n

 

II

sin x x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

5!

 

 

 

2n 1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x4

 

 

 

 

 

 

 

n

x2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III

cosx 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

o x2n 1

 

 

 

 

2!

 

 

4!

2n !

 

 

 

10