Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

допзанятие 4 28_03_2015

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
358.47 Кб
Скачать

СПбГУ Экономический факультет Дополнительная математика

1 курс 2 семестр 2014/2015 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна

СЕМИНАР 4. (28.03.2015, 3 ак.ч. и 32 мин)

Таблица простейших интегралов

1.dx x C

xn 1

2.xn dx n 1 C

3.dxx ln x C

4.

 

 

 

dx

arctgx C

 

 

2

 

 

1

x

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

dx

 

 

 

arcsin x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

ex dx ex C

7.

ax dx

 

 

ax

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

8.sin xdx cos x C

9.cos xdx sin x C

10.

sec

2

xdx

 

1

 

 

dx

 

dx

 

tgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

cos x

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

 

11.

cosec

xdx

 

 

 

dx

 

 

 

ctgx C

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

x

 

sin

 

x

12.

shxdx chx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

chxdx shx C

 

 

 

 

 

14.

 

dx

thx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

dx

cthx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

arctg

x

 

C

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

x2 a2

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

C

 

 

18.

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

x

2

 

2

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

arcsin

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(продолжение) Тема 3. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Подведение части функции под знак дифференциала. Замена переменной.

Задача 3.21

Вычислить интеграл

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin x

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

sin x 1

C, x

 

k k

если

cos x

 

2

 

 

 

 

 

умножить числитель и знаменатель в интеграле на сопряженное знаменателю значение,

2

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2 k k ,

 

 

tg

 

 

 

C, x

 

если

в

 

 

4

 

2

 

 

2

 

 

 

исходном

интеграле

представить

 

 

 

sin x cos

x и использовать формулу

2

 

 

двойного угла.

Рис. 9

3

Рис. 10

Задача 3.31

Вычислить интеграл dx sin x

Подсказка.

1 сп.

Воспользоваться формулой двойного угла. Сделать в знаменателе тангенс и квадрат косинуса.

 

x

 

C x

 

2 k k

Ответ: ln

tg

 

 

2

 

2

 

 

 

2 сп.

Умножить числитель и знаменатель на синус.

4

Ответ: ln

sin x

 

 

 

C

 

 

 

 

1 cos x

 

Задача 3.32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интеграл

 

 

dx

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсказка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 сп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее см. задачу 3.31 1 сп.

 

x

 

 

 

 

C

 

 

Ответ: ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

2 сп.

Умножить числитель и знаменатель на косинус.

Ответ: ln

cos x

 

C

 

 

1 sin x

Задача 3.22

Вычислить интеграл

dx

 

 

ex e x

Ответ: arctge x C

 

Задача 3.23

 

 

5

Вычислить интеграл

 

dx

 

 

x ln x ln ln x

 

Ответ: ln ln ln x C, при _ x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11

Задача 3.24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интеграл

 

shxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсказка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x sh2 x ch2x

ch2 x sh2 x 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

ln

2chx

 

ch2x

C

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.25

Вычислить интеграл

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x3 th2 x

 

 

 

Ответ: 33 thx C

Задача 3.26

Вычислить интеграл x2 1 dx x4 1

Подсказка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

1

 

dx

 

 

x2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

 

arctg

x2

1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.27

Вычислить интеграл x2 1 dx x4 1

Подсказка.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

d x

 

 

 

1

 

 

dx

 

x2

 

x

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

1

 

 

 

ln

x2

x

 

 

2 1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

x2

x

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить интеграл

 

 

 

cos xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.29

Вычислить интеграл 2x 3x dx

9x 4x

Подсказка.

Вынести из знаменателя 4x

 

3x

 

3 x

 

3

 

 

 

d

 

 

 

 

 

ln

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

2

 

2

 

 

 

Ответ:

 

 

 

1

 

 

ln

 

3x 2x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

2 ln 3 ln 2

 

3x 2x

 

Задача 3.30

Вычислить интеграл x 1 x 10 dx

Подсказка.

8

Заметить что x 1 1 x

Ответ: 1 x 11 1 x 12 C

11 12

Тема 4. Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование по частям

Задача 4.1

Вычислить интеграл x2 ln xdx

Подсказка.

Выгодно продифференцировать натуральный логарифм

Ответ: x3 ln x x3 C

3 9

Задача 4.2

Вычислить интеграл x2 sin 3xdx

Подсказка.

Выгодно продифференцировать степенную функцию от x . Формула интегрирования по частям применяется два раза.

9

Ответ:

x2

cos3x

2

x sin 3x

2

cos3x C

 

 

 

3

 

9

 

27

 

Задача 4.3

 

 

 

 

 

Вычислить интеграл arctgxdx

Ответ: xarctgx 12 ln 1 x2 C

Задача 4.4

Вычислить интеграл 1 x2 dx

Ответ: 12 x1 x2 12 arcsin x C

Далее задачи 4.5 – 4.9 и 3.33 посмотрите дома, разберем при надобности на следующем занятии 04.04.2015

Задача 4.5

Вычислить интеграл x5ex 2 dx

Подсказка.

] t x2

10