допзанятие 4 28_03_2015
.pdfСПбГУ Экономический факультет Дополнительная математика
1 курс 2 семестр 2014/2015 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна
СЕМИНАР 4. (28.03.2015, 3 ак.ч. и 32 мин)
Таблица простейших интегралов
1.dx x C
xn 1
2.xn dx n 1 C
3.dxx ln x C
4. |
|
|
|
dx |
arctgx C |
||||||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
arcsin x C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 x |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
ex dx ex C |
||||||||||
7. |
ax dx |
|
|
ax |
C |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
8.sin xdx cos x C
9.cos xdx sin x C
10. |
sec |
2 |
xdx |
|
1 |
|
|
dx |
|
dx |
|
tgx C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos x |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
||
11. |
cosec |
xdx |
|
|
|
dx |
|
|
|
ctgx C |
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
sin |
|
x |
||
12. |
shxdx chx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
chxdx shx C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
14. |
|
dx |
thx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. |
|
dx |
cthx C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
C |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
x2 a2 |
|
C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x2 a2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
2 |
|
2 |
|
|
x a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
C |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a2 x2 |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(продолжение) Тема 3. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Подведение части функции под знак дифференциала. Замена переменной.
Задача 3.21
Вычислить интеграл |
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
1 sin x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
sin x 1 |
C, x |
|
k k |
если |
||||
cos x |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
умножить числитель и знаменатель в интеграле на сопряженное знаменателю значение,
2
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 k k , |
|
|
tg |
|
|
|
C, x |
|
если |
в |
|
|
|
|||||||
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
исходном |
интеграле |
представить |
|
|
|
sin x cos |
x и использовать формулу |
|
2 |
|
|
двойного угла.
Рис. 9
3
Рис. 10
Задача 3.31
Вычислить интеграл dx sin x
Подсказка.
1 сп.
Воспользоваться формулой двойного угла. Сделать в знаменателе тангенс и квадрат косинуса.
|
x |
|
C x |
|
2 k k |
||
Ответ: ln |
tg |
|
|||||
|
2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
2 сп.
Умножить числитель и знаменатель на синус.
4
Ответ: ln |
sin x |
|
|
|
C |
||||||
|
|
|
|
||||||||
1 cos x |
|
||||||||||
Задача 3.32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
|
|
dx |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
cos x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 сп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее см. задачу 3.31 1 сп. |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
C |
|||||
|
|
||||||||||
Ответ: ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
2 сп.
Умножить числитель и знаменатель на косинус.
Ответ: ln |
cos x |
|
C |
|
|
||
1 sin x |
Задача 3.22
Вычислить интеграл |
dx |
|
|
|
|
ex e x |
|
Ответ: arctge x C |
|
Задача 3.23 |
|
|
5 |
Вычислить интеграл |
|
dx |
|
|
|
||
x ln x ln ln x |
|||
|
Ответ: ln ln ln x C, при _ x 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11 |
||||
Задача 3.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить интеграл |
|
shxdx |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
ch2x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ch2 x sh2 x ch2x |
ch2 x sh2 x 1 |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
ln |
2chx |
|
ch2x |
C |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.25
Вычислить интеграл |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 x3 th2 x |
|
|||
|
|
Ответ: 33 thx C
Задача 3.26
Вычислить интеграл x2 1 dx x4 1
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
d x |
|
|
|
1 |
|
dx |
|
||||||||
|
x2 |
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
1 |
|
|
|
arctg |
x2 |
1 |
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.27
Вычислить интеграл x2 1 dx x4 1
Подсказка. |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
d x |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
x2 |
||||||
|
x |
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 |
|
|
|
ln |
x2 |
x |
|
|
2 1 |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
x2 |
x |
|
|
2 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 3.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить интеграл |
|
|
|
cos xdx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos2x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.29
Вычислить интеграл 2x 3x dx
9x 4x
Подсказка.
Вынести из знаменателя 4x
|
3x |
|
3 x |
|
3 |
|
|
|
||||||
d |
|
|
|
|
|
ln |
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
3x 2x |
|
C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 ln 3 ln 2 |
|
3x 2x |
|
Задача 3.30
Вычислить интеграл x 1 x 10 dx
Подсказка.
8
Заметить что x 1 1 x
Ответ: 1 x 11 1 x 12 C
11 12
Тема 4. Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование по частям
Задача 4.1
Вычислить интеграл x2 ln xdx
Подсказка.
Выгодно продифференцировать натуральный логарифм
Ответ: x3 ln x x3 C
3 9
Задача 4.2
Вычислить интеграл x2 sin 3xdx
Подсказка.
Выгодно продифференцировать степенную функцию от x . Формула интегрирования по частям применяется два раза.
9
Ответ: |
x2 |
cos3x |
2 |
x sin 3x |
2 |
cos3x C |
|
|
|
||||
3 |
|
9 |
|
27 |
|
|
Задача 4.3 |
|
|
|
|
|
Вычислить интеграл arctgxdx
Ответ: xarctgx 12 ln 1 x2 C
Задача 4.4
Вычислить интеграл 1 x2 dx
Ответ: 12 x1 x2 12 arcsin x C
Далее задачи 4.5 – 4.9 и 3.33 посмотрите дома, разберем при надобности на следующем занятии 04.04.2015
Задача 4.5
Вычислить интеграл x5ex 2 dx
Подсказка.
] t x2
10