Производная случайной функции

 Построение производной случайной функции требует привлечения аппарата предельного перехода к разностному отношению случайной функции . Это, в свою очередь, требует рассмотрения сходимости последовательностей случайных величин или функций, то есть введения так называемой стохастической сходимости: среднеквадратической, по вероятности и почти наверное.

Для целей прикладного анализа случайных функций нет необходимости вдаваться в сравнения различных видов сходимости, а достаточно пользоваться общим понятием стохастической сходимости. Так стохастический предел случайной функции , зависящей от дополнительной переменнойбудем записывать следующим образом

При этом, случайную функцию будем, собственно, называть стохастическим пределом функциипри. Главное требование к стохастической сходимости - предельный переход перестановочен с операцией нахождения моментов

 

Этому требованию, в частности, удовлетворяет сходимость в среднем квадратическом

В дальнейшем именно это и предполагается. 

В смысле среднеквадратической сходимости, производная случайной функции (используется привычное обозначение производной) определяется следующим выражением

 

Заметим, что понятие дифференцируемости случайной функции предполагает существование конечной дисперсии у её производной.

 Теорема. Математическое ожидание производной случайного функции равно производной ее математического ожидания

Теорема. Корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной производной ее корреляционной функции

Теорема. Взаимная корреляционная функция случайной функции и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу

Пример. В условиях предыдущего примера найти математическое ожидание, корреляционную функцию, дисперсию производной случайной функции и их взаимную корреляционную функцию.

Решение. Математическое ожидание

Корреляционная функция

Дисперсия

Взаимные корреляционные функции