Лекция 2
.pdf
Мгновенная скорость векторной форме записи:
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
dx |
dy |
dy |
|||||
v |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
ex |
|
ey |
|
ey . |
|
dt |
|
dt |
dt |
dt |
|||||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||
Мгновенная скорость координатной форме записи:
v |
|
|
dx |
x, v |
|
|
dy |
y, v |
|
|
dz |
z . |
x |
|
y |
|
z |
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль мгновенной скорости:
v t |
|
|
t |
|
|
v |
2 |
v |
2 |
v |
2 |
|
|
||||||||||
|
v |
|
x |
y |
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Вектор мгновенной скорости точки определяет бы-
строту изменения радиус-вектора г со временем, т. е. быстроту изменения положения точки в пространстве.
11
4. Ускорение материальной точки
Вектор мгновенного ускорения
следующим образом, рис. 2.
a
определяется
Рис. 2
Выберем |
два |
|
|
материальной |
точки: |
|
|
скорость |
в |
этих |
|
|
|
|
|
Перенесем вектор v t |
|||
последовательных |
положения |
||
A и B . Найдем |
мгновенную |
||
положениях |
|
и |
|
v t |
v t t . |
||
t параллельно самому |
себе из |
||
B в |
A |
v t . |
|
|
|
времени
и найдем разность Возьмем отношениеt , разделяющему
|
|
|
|
|
v |
векторов v t t и |
|||
|
к |
промежутку |
||
v |
||||
положения |
A |
и |
B . |
|
Отношение
представляет точками A и
|
|
|
v |
t, t t |
|
|
a |
|
t |
ср |
|
|
|
собой вектор среднего ускорения между
B .
Мгновенное ускорение материальной точки в положении A :
12
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
v |
|
dv |
|
dr |
||
a |
t |
dt |
dt |
v |
|||
|
t 0 |
|
|
|
|||
Вектор |
мгновенного |
|
ускорения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
быстроту изменения вектора скорости |
v |
r .
характеризует со временем t .
Мгновенное ускорение в векторной форме записи:
|
dv |
x |
|
dv |
y |
|
dv |
z |
|
|
dv |
x |
|
|
dv |
y |
|
|
dv |
z |
|
|||||
a |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
ey |
|
|
|
ez . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|||||||||
Мгновенное ускорение в координатной форме |
||||||||||||||||||||||||||
записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
dv |
x |
|
|
|
, |
|
ay |
|
dv |
y |
|
|
, |
az |
|
dv |
z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
dt |
vx |
|
dt |
vy |
dt |
vz . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для вектора |
уже нельзя так же просто, как это было |
|||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для v , указать направление по отношению к траектории.
13
5. Тангенциальное и нормальное ускорение
Рассмотрим такое движение материальной точки, когда она не выходит за пределы некоторой плоскости (плоское движение). Введем декартову систему координат, движущуюся вместе с точкой. Одну ось этой системы
направим по касательной к траектории в направлении мгновенной скорости, а вторую n — по нормали (т. е. перпендикулярно касательной) (рис. 3).
Рис. 3
Тогда вектор ускорения можно разложить на состав-
ляющие вдоль касательной к траектории |
|
и перпен- |
||
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дикулярно ей an : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a . |
|
|
|
|
n |
|
|
Вектор мгновенного ускорения a характеризует быстроту изменения мгновенной скорости и по величине,
и по направлению.
14
По абсолютной величине ускорение равно
|
|
a |
2 |
a |
2 |
a a |
|
n |
|||
|
|
|
|
||
.
Касательное (или тангенциальное) ускорение характеризует изменения мгновенной скорости по
величине:
где
0 |
|
|
v |
a
v.
dv 0 dt
,
Нормальное (или центростремительное) ускорение характеризует изменения мгновенной скорости по
направлению:
|
v2 |
|
0 |
|
an |
|
n |
|
, |
R |
|
|||
|
|
|
|
0
где n n n , R - радиус кривизны траектории в данной точке.
15
6. Вращательное движение
Введенные кинематические характеристики движения пригодны в принципе для описания любого вида движения, однако, в случае вращательного движения более удобно пользоваться угловыми кинематическими
характеристиками.
Рассмотрим подробней вращательное движение.
Вращательное движение материальной точки в общем случае можно определить как движение ее по
замкнутой траектории.
Здесь же мы ограничимся лишь таким классом вращательного движения, когда замкнутая траектория представляет собой окружность.
Пусть окружность, по которой движется материальная точка, расположена в плоскости хОу декартовой системы координат (рис. 4).
Рис. 4
16
Линия, проведенная через центр окружности перпендикулярно ее плоскости, называется осью
вращения.
Видно, что вращение точки образует правый винт с
направлением |
z . Зафиксируем некоторое начальное |
положение точки и связанное с ним начальное положение
радиус-вектора r0 . Поскольку траектория задана (окружность), то положение точки на траектории будет
полностью определяться углом |
|
поворота радиус- |
вектора. |
|
|
Для фиксации в пространстве плоскости вращения величине придают векторный характер. Направление
угла поворота как вектора считают совпадающим с положительным направлением оси вращения и выражают
соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ez , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
где ez — единичный вектор оси z , совпадающей с осью |
|||||
вращения. |
|
|
|
|
|
Введенный вектор |
аналогичен вектору |
в |
|||
|
r |
||||
случае линейных величин.
Следует отметить, что закон сложения векторов применительно к выполняется лишь для
бесконечно малых углов поворота (
).
17
При |
больших |
углах |
поворота |
|
~ |
||||
величиной |
оперируют как скалярной. |
|
||
По аналогии с линейными мгновенными скоростью и |
||||
ускорением |
введем |
угловую |
скорость |
и угловое |
ускорение .
Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота со временем при вращательном движении и определяется соотношением:
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|||
|
|
|
|
e . |
|
|
|
|
dt |
|
dt |
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Угловое ускорение |
|
характеризует быстроту |
||||
изменения угловой скорости со временем и определяется соотношением:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
. |
|
|||
|
|
dt |
dt |
2 |
e |
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
Угловая скорость направлена так, что образует пра- |
|||||||||
вый винт с направлением |
вращения. Она является |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
истинным вектором (в отличие от угла поворота |
). |
Вектор углового ускорения лежит на оси вращения, а
его направление зависит от того, увеличивается или уменьшается со временем величина скорости вращения. В первом случае направление векторов и совпадают. Этот случай математически соответствует положительному знаку второй производной по времени.
18
Связи между угловыми и линейными величинами показаны на рис. 5.
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
Если начало координат |
O |
на этом рисунке |
||||
перемещать вверх по оси |
z до совмещения с точкой |
O |
|
, |
||
|
||||||
то можно перейти к простейшей скалярной форме записи этого выражения v R .
В общем случае, если отсчѐт производится от начала координат O , то вектор скорости равен:
v, r
Тангенциальное ускорение в этом случае равно:
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|||||
a |
|
, r |
|
, r |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dt |
|
|
Нормальное ускорение в этом случае равно:
19
|
|
|
|
|
|
|
dr |
||||||
a |
n |
, v |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dt |
|
Если вращательное движение является равномерным
|
|
то тангенциальное ускорение отсутствует |
( 0 ), |
||
|
0 ), |
а нормальное (центростремительное) ускорение |
( a |
||
|
|
|
постоянно и равно по модулю:
an v2 2 R R
Полное ускорение при вращательном движении:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
d |
dr |
||||||
a |
|
|
, r |
|
, |
|
|
|||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При описании вращательного движения используются также период вращения T , т. е. время одного полного оборота и частота , т. е. количество полных оборотов в единицу времени. Для этих переменных справедливы следующие соотношения:
T1 ,
2 |
2 |
|
T |
||
|
.
20