Лекция 10
.pdf11
Положительная работа расширения, совершаемая системой в процессе C1L1C2, превышает отрицательную работу C2L2C1, которая совершается в процессе сжатия. В итоге получается положительная результирующая работа, измеряемая площадью, закрашенной на рис. 3.
11
4. Теплоѐмкость вещества
Теплоѐмкость единичной массы вещества:
c |
1 Q |
|
m dT |
||
|
Молярной теплоѐмкостью называется величина
C c |
Q |
. |
|
m dT |
|||
|
|
В этом случае с учѐтом (5) первое термодинамики (2) можно записать в виде:
m |
CdT dU pdV . |
|
|
||
|
12
(5)
начало
(6)
12
|
13 |
5. Изохорный процесс |
|
Изохорный процесс ( V const, |
dV 0 ) представлен на |
рис. 4. |
|
В этом случае
или
|
Рис. 4. |
|
|
||
dV 0 |
из уравнения состояния (6) следует: |
||||
|
m |
CV dT dU , |
(7) |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
CV |
dU |
, |
(8) |
|
|
m dT |
||||
|
|
|
|
|
|
где |
CV |
объѐме.
- молярная теплоѐмкость газа при постоянном
Теплота, вводимая в тело в изохорном составляет
Q dU |
m |
CV dT , |
|
|
|||
|
|
или для случая, показанного на рис. 4:
Q1 2 m CV T2 T1
процессе,
(9)
13
14
С учѐтом (9) можно уравнение первого закона термодинамики для идеального газа (6) записать в виде:
m CdT m C dT pdV . |
(10) |
||
|
|
V |
|
|
|
||
14
15
6. Изобарный процесс
Изобарный процесс ( dp 0, |
p const) представлен на |
рис. 5. |
|
Рис. 5.
Элементарная теплота, сообщаемая газу в изобарном процессе, может быть записана в виде:
|
Q |
m |
CPdT , |
(11) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
где CP |
- молярная теплоѐмкость газа при постоянном |
|||
давлении. |
|
|
|
|
Уравнение Менделеева-Клапейрона (см. лекция 8) можно представить в дифференциальном виде
d( pV ) |
m |
RdT |
|
|
|||
|
|
и с учѐтом p constможно записать
pdV |
m |
RdT |
|
|
|||
|
|
Из (2) с учѐтом (10-12) следует
m CPdT m CV dT m RdT ,
(12)
15
16
или
CP CV R .
Это соотношение называется уравнением Майера.
(13)
16
17
7. Изотермный процесс
(
Изотермный
dT 0, |
T const |
(или изотермический) процесс ) представлен на рис. 6.
Рис. 6.
В этом случае dU |
m |
C dT 0 , и вся теплота, |
|
||
|
|
V |
|
|
сообщаемая газу, расходуется на совершение газом работы против внешних сил:
|
|
V2 |
|
m |
|
V2 |
dV |
|
m |
V |
||
|
|
|
pdV |
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
A |
|
|
RT |
|
|
|
RT ln |
2 |
. |
|||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
V1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теплоѐмкость газа в изотермном процессе поскольку dT 0 , а Q 0 .
CT
(14)
,
17
8. Адиабатный процесс
Адиабатный процесс ( Q 0 ) показан на рис. 7.
Рис. 7. |
|
|
||
В адиабатном процессе |
|
|
|
|
CQ |
Q |
0 |
, |
|
dT |
|
|||
|
|
|
|
|
поскольку dT 0 . |
|
|
|
|
Тогда из (15), подставляя C CQ 0 |
, получаем: |
|||
18
(15)
m |
C dT pdV |
|
|
|
V |
|
0
.
(16)
Дифференцируя Клапейрона, имеем
Учтѐм (13) |
CP CV |
обе части уравнения Менделеева-
pdV Vdp |
m |
RdT |
(17) |
|
|
||||
|
|
|
||
R и из (16) и (17) получим |
|
|||
|
dV |
|
dp |
|
V |
p |
|||
|
|
где
Cp
CV
0
,
(18)
(19)
18
19
– показатель адиабаты, или коэффициент Пуассона.
Интегрирование (18) даѐт
ln V |
|
ln |
|
p ln
const
,
или соотношение, которое называется
Пуассона:
pV |
|
const. |
|
уравнением
(20)
С помощью уравнения Менделеева-Клапейрона можно уравнение Пуассона записать с другими параметрами состояния газа в адиабатном процессе:
pT |
1 |
|
const
,
(21)
VT |
1 1 |
|
const
.
(22)
Работа в газе при адиабатном процессе с учѐтом (16)
A pdV |
m |
CV dT , |
|||
|
|||||
|
|
|
|
||
откуда следует |
|
|
|
|
|
A1 2 |
m |
CV T1 |
T2 . |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
Для справки:
Используя (21) и (22) можно получить
(23)
и работу
A1 2
выразить:
или
19
20
10. Политропный процесс
Обобщением рассмотренных выше процессов является политропный процесс, описываемый уравнением
|
pV n const, |
(24) |
где n |
- показатель политропы. |
|
Для рассмотренных выше процессов:
n 0 для изобарного процесса;
n 1 для изотермического процесса;
n для адиабатного процесса;
|
n для изохорного процесса. |
Теплоѐмкость политропного процесса выводится из формул (19) и (20) и равна
C
n |
R |
|
1 n 1 |
||
|
.
(25)
Работа совершаемая газом в политропном процессе 1-2 равна
|
|
V1 |
|
p1V1 |
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
A1 2 |
|
|
pdV |
|
1 |
V1 |
|
|
. |
(26) |
||
n 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
||||
|
|
V1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Формула (26) неприменима к изотермному процессу, т.е. при n 1, поскольку имеет место неопределѐнность типа 0:0. В этом случае следует пользоваться формулой (14):
A1 2 |
m |
RT ln |
V2 |
||
|
V1 |
||||
|
|
|
|||
_ _ |
_ |
_ _ |
|||
20