10. Математические модели конечномерных (детерминированных) воздействий

Рассмотрим задачу построения математических моделей динамических сред, с помощью которых формируются скалярные непрерывные и дискретные по временивоздействия. Как и ранее,– непрерывное время,– дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительноститак, что для дискретных представлений воздействий выполняется соотношение.

Определение 10.1 (О10.1). Непрерывное скалярное воздействие называется конечномерным, если оно может быть представлено в виде суммы конечного числа элементов

, (10.1)

где – конечное целое положительное число, аддитивные компонентыформируются автономными непрерывными динамическими системами конечной размерности,– коэффициенты из поля. □

Определение 10.2 (О10.2). Дискретное по времени скалярное воздействие называется конечномерным, если оно представимо в виде суммы конечного числа элементов

, (10.2)

где – конечное целое положительное число, аддитивные компоненты¹ формируются автономными дискретными динамическими системами конечной размерности, – коэффициенты из поля. □

Примечание 10.1 (ПР10.1). В дальнейшем рассматриваются воздействия, коэффициенты которых в (10.1) и (10.2) принадлежат полю действительных чисел ().

Понятие «воздействие» предполагает наличие динамического объекта или динамической системы, на которые осуществляется воздействие, которое относительно этих объекта и системы оказывается внешним (экзогенным). В этой связи выделим два типа внешних воздействий на динамический объект (динамическую систему).

Первый тип экзогенного воздействия именуется задающим, которое обозначается для непрерывного случая в форме , а для дискретного –. При этом, если() являются конечномерными, то выполняются равенства

, . (10.3)

Второй тип экзогенного воздействия именуется возмущающим, которое для непрерывного случая обозначается как , а для дискретного –. Еслииявляются конечномерными, то выполняются соотношения

, . (10.4)

Задающее , () и возмущающее, () несут различную функциональную нагрузку.

Так, если динамическая система характеризуется выходным сигналом , (), то она должна быть спроектирована таким образом, чтобы при подаче на вход системы задающего воздействия, () выходной сигнал (или просто выход), () с течением времени максимально приближался бы к задающему воздействию, что можно записать в форме

, (10.5)

. (10.6)

Если система удовлетворяет условиям (10.5), (10.6), то она решает задачу слежения.

Возмущающее воздействие является «мешающим» фактором, поэтому динамическая система должна быть спроектирована так, чтобы при подаче на вход системы возмущающего воздействия (), выход системы() с течением времени должен максимально приближаться к его реализации, которая имела место при отсутствии возмущающего воздействия, что можно записать в форме

, (10.7)

. (10.8)

Если система удовлетворяет условиям (10.7), (10.8), то она решает задачу стабилизации выхода путем парирования возмущающего воздействия.

Поиск модельных представлений конечномерных воздействий в классе автономных динамических систем имеет технологическую, вычислительную и алгоритмическую нагрузки.

Если источник конечномерного внешнего воздействия (ИКВВ) представлен автономной динамической системой (АДС), то агрегирование его с исследуемой динамической системой позволяет сформировать расширенную ДС (РДС), которая оказывается также автономной. Все многообразие выходов исследуемой ДС может быть воспроизведено путем изменения начальных состояний ИКВВ и исследуемой ДС, при этом аналитически для формирования выходных траекторий достаточно воспользоваться матричной экспонентой, конструируемой на матрице состояния РДС.

Обнаруживается, что построение аналитических представлений реакций исследуемой ДС на конечномерное внешнее воздействие (КВВ) обеспечивается решением матричного уравнения Сильвестра относительно матрицы преобразования подобия (в общем случае особого), связывающего векторы состояния ДС и ИКВВ.