Лекция 2. Теорема Остроградского – Гаусса
2013
Историческая справка
Теорема Остроградского - Гаусса – основная теорема электродинамики; применяется для расчета электрических полей; входит в систему уравнений Максвелла.
1826 г. – акад. М.В. Остроградский, вывел общую формулу, связанную с преобразованием объемного интеграла к поверхностному.
1844 г. – К.Ф. Гаусс, установил взаимосвязь потока вектора напряженности электрического поля с зарядом в объеме, ограниченным этой поверхностью.
3
Поток вектора напряженности |
|||
электрического поля |
|||
|
|
Элементарный поток dФ вектора |
|
|
напряженности E через площадку dS |
||
|
|
(силовая характеристика): |
|
dS |
d E dS EndS E dS cos |
||
|
|
- |
|
Вектор Е меняется от точки к |
число линий напряженности |
||
электрического поля, |
|||
точке на большой |
|
||
поверхности, |
|
пронизывающих площадку dS. |
|
но практически однороден на |
dS dS n |
||
малой площадке dS. |
|
|
|
En E cos - |
проекция вектора напряженности на |
||
|
направление нормали. [Ф] = B∙м |
||
4
Если вектора образуют острый угол, поток положительный.
3
Поток вектора напряженности
через произвольную поверхность:
Ф d EdS EndS
S S S
через замкнутую поверхность:
Ф d EdS EndS
S S S
однородного поля (E=const) через поверхность S
ФE S En S E S cos
α– угол между нормалью к поверхности и линиями напряженности электрического поля.
5
4
Принцип суперпозиции
E E1 E2 ... En
Расчет напряженности протяженных заряженных тел
их разбивают на бесконечно малые части, считая их точечными зарядами;
1.расчет напряженности поля, создаваемого отдельными частями;
2.суммирование напряженностей согласно принципу суперпозиции;
3.суммирование → интегрирование.
2
Теорема Гаусса (1844)
Полный поток вектора напряженности E через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0.
1
EdS qвнутр S 0
ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума
Поток напряженности поля Е через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю, также равен нулю.
6
6
Предварительные обозначения
Телесный угол – часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью.
d |
r |
d dS cos |
|
|
r2 |
|
|
[ ] стерадиан ср |
1 стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы
max(полный) 4 r2 4
r2
7
7
Доказательство теоремы Гаусса
Напряженность поля точечного заряда: |
1 |
|
q |
||||
E 4 0 |
r2 |
||||||
|
1 |
|
|
||||
q |
dS cos |
|
q d |
||||
d EdS |
|
||||||
|
4 0 |
r2 |
|
|
4 0 |
||
d q |
d q |
|
|
||||
|
4 0 |
|
0 |
|
|
||
S |
S |
|
|
||||
С точки зрения физики, теорема Гаусса и закон Кулона эквиваленты, это один и тот же физический закон, облаченный в разные математические оболочки.
Непрерывное распределение заряда:
|
|
|
|
1 |
dV |
ρ – объемная плотность |
|
EdS q |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
распределения заряда. |
8 |
S |
|
0 V |
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение теоремы Гаусса
Применяется для расчета электрических полей в задачах со специальной симметрией.
1. Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ:
E
2 0
Поле однородно (в каждой точке поля E=const)
2. Напряженность поля двух бесконечных равномерно заряженных разноименными зарядами параллельных плоскостей: напряженности полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, сл-но, их геометрическая сумма явл. их арифметической суммой в вакууме: 
9
9
Применение теоремы Гаусса
3. Напряженность электрического поля цилиндра (нити) радиусом R, равномерно заряженного с линейной плотностью τ.
при r R |
E 0 |
|
|
|
1 |
|
|
при r R |
E |
|
r |
2 0 |
|||
10
10