Лекция 3. Потенциальное векторное поле
2013
Работа сил поля по перемещению заряда
(энергетическая характеристика поля)
Из механики: любое потенциальное поле центральных сил является консервативным. Работа сил такого поля зависит не от пути, а только
от начального и конечного положения тел. |
2 |
||
|
|
2 |
|
A Fdl |
qEdl |
q Edl |
q Eldl |
l |
l |
1 |
1 |
Сходство законов всемирного тяготения и Кулона позволяет |
|||
предположить, что и электростатические силы консервативные |
|||
Работа силы по замкнутому контуру: |
|
||
A q Edl 0
Edl циркуляция E
L
E |
E cos проекция E на направление перемещения |
l |
L |
|
В противном случае был бы вечный двигатель |
2
2
Теорема о циркуляции вектора E
Циркуляция вектора напряженности любого электростатического поля всегда равна нулю
Edl 0
Доказательство:
|
2 |
1 |
2 |
2 |
Edl Edl |
Edl |
0 |
||
|
1 |
2 |
1 |
1 |
Следствия из теоремы о циркуляции:
1.Линии напряженности поля не могут быть замкнуты
2.Невозможна представленная конфигурация поля
3
3
Потенциал электрического поля
Работа А, совершаемая силами электростатического поля при перенесении заряда q, равна убыли потенциальной энергии этого заряда dA = - dW
2
A q Edl W1 W2
1
W1, W2 – потенциальная энергия заряда в точках 1 и 2.
Потенциал электрического поля: энергетическая характеристика электрического поля; скалярная величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной
точке поля.
|
|
[ ] В |
Разность потенциалов между двумя |
|
W |
||||
точками равна одному вольту (СИ), если для |
||||
|
q |
(вольт) |
перемещения между ними одного кулона эл-ва |
|
|
нужно совершить работу, равную одному джоулю. |
|||
A q( 1 2),
4 |
( 1 2) |
-разность потенциалов
4
Потенциал электрического поля
2
Edl 1 2
1
Потенциал электрического поля определяется с точностью до аддитивной постоянной. Потенциал точки поля численно равен работе по перемещению точечного положительного заряда из бесконечности в
данную точку поля:
A q( ) q qA
Потенциал на бесконечности равен нулю:
0
5
5
Взаимосвязь напряженности и потенциала
2
Edl 1 2
1
Для элементарных перемещений dl:
Edl Eldl
В проекциях на координатные оси:
Ex x ; Ey y ; Ez
d
z
|
|
|
|
|
grad |
|||
E |
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Напряженность в некой точке Е-поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор)
6
6
Взаимосвязь напряженности и потенциала для однородного поля (E=const)
1 2 El cos
α – угол между направлением перемещения и линиями напряженности электрического поля.
7
7
Потенциал точечного заряда
Напряженность поля точечного заряда: E rkq2
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Edl |
kq dr kq |
|
|
||||
|
|
1 |
|
r r2 |
r |
|
r |
|
|
|
|
||||
kq |
kq |
kq |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
kqr
8
8
Потенциал системы зарядов
Принцип суперпозиции для вектора напряженности:
E E1 E2 ... En
Принцип суперпозиции для потенциала системы
зарядов:
1 2 ... n
Непрерывное распределение зарядов:
|
1 |
dl |
1 |
dS |
1 |
dV |
|
4 0 |
4 0 |
4 0 |
|||||
|
|
|
|
9
9
Потенциал поля, создаваемого различными заряженными телами
1.Бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью σ.
E const
2 0
U 1 2 El cos 2 l cos0
2.Потенциал электрического поля цилиндра (нити) радиусом R, равномерно заряженного с линейной
плотностью τ. |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
r |
|
|
ln |
||||||
U E dl |
|
|
dr |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
l |
|
|
r |
2 0 |
|
r1 |
|
|
1 |
1 |
2 0 |
|
||||
10
10