Posit1nov (1)

i,j: (xi,yj ) B

Докажем, например, первое свойство. Используя свойства действий над событиями

i: xi<x j: yj <y

Пример 5.2 В двух ящиках находится по 6 занумерованных шаров.

В первом ящике: 1 шар - с номером 1; 2 шара - с номером 2; 3 шара - с номером 3. Во втором ящике: 2 - с номером 1; 3 - с номером 2; 1 - с номером 3.

Из каждого ящика случайным образом вынули по шару. Пусть X - номер шара, вынутого из первого ящика и Y - номер шара вынутого из второго ящика. Составить таблицу распределения случайного вектора (X, Y ).

Решение. События {X = i} и {Y = j} независимы при любых i, j в силу незавсимости эксперементов (разные ящики). Следовательно, P {X = 1, Y = 1} = P {X = 1}P {Y = 1} = 1/6 · 2/6 = 1/18. Поступая аналогично для вычисления

других вероятностей, получим таблицу.

31/6 1/4 1/12

Рассмотрим теперь случайный вектор X = (X, Y ), где X и Y - непрерывные

случайные величины.

Определение 5.4 Пусть существует такая функция f (x, y) ≥ 0, что для всех вещественных x, y справедливо представление

43

тогда случайный вектор X = (X, Y ) называется непрерывным, а функция f (x, y) называется плотностью распределения случайного вектора X = (X, Y ) или совместной плотностью распределения случайных величин X и Y .

Основные свойства плотности распределения случайного вектора:

∞ ∞

R R

fv 1. f (x, y)dxdy = F (+∞, +∞) = 1 - свойство нормировки.

−∞ −∞

fv 2. Положим f (x, y) = ∂2F (x, y) , в тех точках, где эта производная существует.

R R ∂x ∂y

fv 3. P ((x, y) D) = f (x, y)dxdy, для любого D B(R2), где B(R2) - боре-

D

левская σ-алгебра на плоскости. Заметим, что это свойство эвивалентно соотноше-

нию (5.1).

Доказательство свойства E3 математического ожидания.

Проведем доказательство для непрерывного случайного вектора X = (X, Y ), в

дискретном случае доказательство аналогично. В силу абсолютной сходимости интегралов (по определению математического ожидания) имеем

Замечание 5.1 Заметим, что в только что приведенном доказательстве нельзя ограничиться требованием непрерывности случайных величин X и Y , так как из этого требования не следует непрерывность случайного вектора X = (X, Y ). Например, при Y = X значения случайного вектора X = (X, X) сосредоточены на прямой y = x и, если X - непрерывная случайная величина, то его распределение будет сингулярным. То есть вероятность P (X = x, Y = y) = 0, для любой точки плоскости (x, y), множество значений случайного вектора V = {(x, y) = (X(ω), Y (ω)), ω Ω} несчетно, а мера множества V (площадь) равна нулю, следовательно, f (x, y) - плотность распределения, не существует.

С использованием интеграла Лебега-Стилтьеса по мере P = P (dω) приведен-

ное доказательство обобщается на общий случай.

Условные законы распределения вероятностей компонент случайного вектора.

44

Определение 5.5 Условным законом распределения случайной величины X, входящей в систему (X, Y ) называется её закон распределения, вычисленный при

положим pi|j0 = 0 при P (Y = yj0 ) = 0,

Аналогично, можно показать, что плотности условного распределения имеют

и положим f (x|y0) = 0, для y0 : fY (y0) = 0 или f (y|x0) = 0, для x0 : fX (x0) = 0.

Пример 5.3 Пусть задано распределение дискретного случайного вектора (X, Y ):

Найти распределения вероятностей случайных величин X и Y , условное распределение X при условии Y = 1 и условное распределение Y при условии X = −1.

Решение. Используем для нахождения распределений компонент случайного вектора (X, Y ) свойства pv1 и pv 2 вероятностей совместного распределения pij ,

тогда

X

pX1 = P {X = −1} = p1j = P {X = −1, Y = −1} + P {X = −1, Y = 0}+

45

Заметим, что в сечении Y = 1 возникло вырожденное распределение, сосредоточенное в точке X = 1.

Аналогично, находится условное распределение случайной величины Y при X = −1

Пример 5.4 Система случайных величин (X, Y ) равномерно распределена в тре-

угольнике D с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 0). Найти:

Решение. 1) Плотность равномерного распределения постоянна в треугольни-

Таким образом, c = 2, следовательно, f (x, y) = 2 для всех (x, y) D.

2) Для вычисления плотностей компонент используем свойства fv 4, fv 5, тогда:

В этом примере распределение в любом сечении является равномерным.

46

5.2Независимые случайные величины.

Определение 5.6 Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых боревских множеств A и B выполнено соотношение

Замечание 5.2 Событие (X A, Y B) на языке теории множеств записывается как пересечение множеств: {ω : X(ω) A} T {ω : Y (ω) B)

Замечание 5.3 Свойство независимости на геометрическом языке площадей фигур звучит очень привычно: "площадь"прямоугольника равна произведению "длин"его сторон. Вероятностная мера не всегда обладает этим свойством, если же для вероятностной меры оно справедливо, то породившие эту меру случайные величины называются независимыми, то есть "поведение"одной из них на вторую "не влияет".

Теорема 5.1 Необходимым и достаточным условием независимости случайных величин X и Y является представимость функции их совместного распределения

в виде

Доказательство. Необходимость. Если случайные величины X и Y независимы,

то представимость функции их совместного распределения в виде (5.8) следует из определения функции распределения F (x, y) = P (X < x, Y < y) = P (X (−∞, x), Y (−∞, y)) и того, что множества (−∞, x), (−∞, y) B - борелевской σ- алгебре на R1 при любых x, y.

Достаточность. Схема доказательства. Доказательство того, что из (5.8) следует независимость случайных величин X и Y основано на свойстве Fv 6 функции

распределения - из этого свойства следует, что соотношение (5.7) выполнено для любого прямоугольника: пусть D = {(x, y) R2 : a ≤ x < b, c ≤ y < d} -

прямоугольник, тогда

P (X [a, b), Y [c, d)) = P ((X, Y ) D) = F (b, d) − F (b, c) − F (a, d) + + F (a, c)) = FX (b)FY (d) − FX (b)FY (c) − FX (a)FY (d) + FX (a)FY (c) =

=FX (b)(FY (d) − FY (c)) − FX (a)(FY (d) − FY (c)) =

=(FX (b) − FX (a))(FY (d) − FY (c)) = P (X [a, b)) P (Y [c, d)).

Отсюда легко следует, что соотношение (5.7) справедливо для любого множества из алгебры, построенной на базе прямоугольников. Затем доказывается теорема апроксимации о вероятностной связи алгебры и порожденной ею σ-алгебры (то есть пересечения всех σ-алгебр, содержащих данную алгебру), откуда следует свойство (5.7) для всех боревских множеств A и B.

Теорема 5.2 Для дискретных случайных величин необходимым и достаточным условием независимости случайных величин X и Y является представимость

вероятности их совместного распределения в виде

47

Доказательство. Необходимость. Как и в теореме 5.1 из условия (5.9) независимость случайных величин X и Y следует в силу того, что pij = P (X = xi, Y = yj ), а одноточечные множества {xi} и {yj } являются борелевскими.

Достаточность следует из свойства вероятностей pv 4: для любых борелевских A и B имеем

P (X A, Y B) = P ((X, Y ) {(x, y) : x A, y B}) =

Теорема 5.3 Для непрерывных случайных величин справедливы два утверждения.

A)Из независимости непрерывных случайных величин X и Y следует непрерывность случайного вектора X= (X, Y ).

B)Необходимым и достаточным условием независимости непрерывных случайных величин X и Y является представимость плотности их совместного

распределения в виде

Доказательство пункта А и необходимости пункта B. Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Из теоремы 5.1 имеем F (x, y) = FX (x)FY (y), откуда по теореме Фубини для любых вещественных x, y

По определению 5.4 , при f (x, y) = fX (x)fY (y), отсюда следует непрерывность случайного вектора X= (X, Y ) и необходимость пункта B.

Доказательство достаточности пункта B. Пусть справедливо равенство (5.10), отсюда следует непрерывность случайного вектора X= (X, Y ). Из (5.1), используя

теорему Фубини и определение 4.5 получим

По теореме 5.1 из (5.11) следует независимость случайных величин X и Y .

Утверждение 5.1 (Свойство E5 математического ожидания) Пусть случайные величины X и Y независимы и существуют математические ожидания

E(X), E(Y ), тогда E(XY ) = E(X)E(Y ).

48

Доказательство. Докажем это утверждение для дискретных случайных величин, в случае непрерывных случайных величин доказательство проводится аналогично с заменой сумм на интегралы. Используя свойства абсолютно сходящихся рядов

Из этого утверждения и свойства D4 дисперсий вытекает

Следствие 5.1 Пусть случайные величины X и Y независимы и существуют дисперсии D(X), D(Y ), тогда D(X + Y ) = D(X) + D(Y ).

Пример 5.5 Пусть задана плотность распределения случайного вектора:

(

00

независимости F (x, y) = FX (x)FY (y), и этот результат следует из пункта 2.

5.3Числовые характеристики случайного вектора.

Математические ожидания компонент случайного вектора. Начальные и центральные моменты компонент случайного вектора определяются как и ранее - в подразделе 4.2. Совокупность математических ожиданий mx = E(X) и my = E(Y ) представляет собой характеристику положения системы: (mx, my ) - координаты

центра рассеивания системы. Можно привести формулы для вычисления математических ожиданий и дисперсий компонент случайного вектора X. Для дискретного случайного вектора:

49

Дисперсии D(X), D(Y ) характерезуют рассеивание случайной точки (X, Y ) соответственно вдоль осей OX и OY

Ковариация, коэффициент корреляции системы случайных величин.

Для многомерного случайного вектора кроме начальных и центральных моментов рассматривают смешанные начальные и центральные моменты.

Определение 5.7 Начальными смешанными моментами порядка k случайного вектора X=(X, Y ) называются числа E(XiY j ), i, j = 1, 2..., i+j = k. Центральными смешанными моментами порядка k случайного вектора X=(X, Y ) называются числа E((X − E(X))i(Y − E(Y ))j ), i, j = 1, 2..., i + j = k.

Рассмотрим более подробно второй центральный смешанный момент.

Определение 5.8 Ковариацией случайных величин X и Y называется матема-

тическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, обозначается K(X, Y ), cov(X, Y ):

− − ˚˚ ˚ −

K(X, Y ) = E ((X E(X))(Y E(Y ))) или K(X, Y ) = E(XY), где X= X E(X),

˚ −

Y= Y E(Y ) - центрированные случайные величины. То есть, ковариация есть ма-

тематическое ожидание произведения центрированных величин (второй центральный смешанный момент). Ковариация является качественной характеристикой зависимости случайных величин. Если распределение дискретное, то

X X

K(X, Y ) = (xi − E(X))(yj − E(Y ))pij .

ij

В непрерывном случае,

Z∞ Z∞

K(X, Y ) = (x − E(X))(y − E(Y ))f (x, y)dxdy.

−∞ −∞

Свойства ковариации:

K1. K(X, Y ) = K(Y, X) - следует из определения.

50

K2. Для любых вещественных чисел a и b справедливо равество K(aX + b, Y ) = aK(X, Y ) - следует из того, что E(aX + b) = aE(X) + b и определения ковариации.

K3. K(X, X) = D(X), K(Y, Y ) = D(Y ) - следует из определения. K4. K(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).

˚˚ − − −

Действительно, K(X, Y ) = E(YX) = E((X E(X))(Y E(Y ))) = E(XY

E(X)Y − XE(Y ) + E(X)E(Y )) = E(XY ) − E(X)E(Y ) − E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) =

E(XY ) − E(X)E(Y ).

Следствие 5.2 В силу свойства E5 математического ожидания (см. утверждение 5.1) для независимых X и Y ковариация равна нулю - K(X, Y ) = 0.

Определение 5.9 Если K(X, Y ) = 0, то случайные величины X и Y называются

некоррелированными.

Замечание 5.4 Из следствия 5.2 получаем, что независимые случайные величины являются некоррелированными. Но достаточно просто построить пример (см. пример 5.6 ) некоррелированныx случайных величин, являющихся зависимыми. Для случайных величин X и Y , имеющих нормальное распределение, незави-

симость и некоррелированность эквивалентны.

Если K(X, Y ) = 0, то случайные величины X и Y зависимы.

Утверждение 5.2 Если случайные величины X и Y некоррелированны, то D(X +

Y ) = D(X) + D(Y ).

Доказательство. Равенство E(XY ) = E(X)E(Y ) следует из свойства K4 ковариации, тогда равенство D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) следует из свойства D4 дисперсии.

Это свойство можно распространить на любой набор попарно некоррелированных случайных величин. Пусть X1, X2, . . . , Xn набор состоящий из n попарно некор-

В частности

D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2K(X, Y ).

Коэффициент корреляции.

Определение 5.10 Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y назы-

51