lecture-khlebnikov
.pdf
'
Задача 2 (продолжение)
2. Центр xc эллипсоида нефиксирован. |
|
|
|
||||||
Другая форма записи эллипсоида: |
|
|
|
} |
|
||||
где прямоугольная |
|
{ |
|
вектор, норма |
евклидова |
||||
|
|
E = x Rn : |
Ex − d 6 1 |
|
|||||
E |
|
матрица, |
d |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эллипсоид (x − xc) P −1(x − xc) 6 1 |
представим в таком виде при |
||||||||
|
E = P −1/2 0, |
|
d = P −1/2xc |
|
|||||
Далее, неравенство Ex − d 6 1 эквивалентно |
|
|
|||||||
|
|
|
(Ex − d) (Ex − d) 6 1 |
|
|
||||
или по лемме Шура |
|
1 |
|
(Ex − d) < 0 |
|
|
|||
|
|
Ex − d |
|
|
I |
|
|
|
|
&
21/29
'
Задача 2 (продолжение)
Поскольку P = E−2, òî
log det P = log det E−2 = −2 log det E
= приходим к задаче выпуклой оптимизации:
− log det E −→ min
при линейных ограничениях |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
(Exi − d) |
< 0, i = 1, . . . , ℓ, |
E |
|
0 |
|
Exi − d |
I |
|
|
|
|
||
по матричной переменной E = E Rn×n и векторной переменной d Rn.
bb
•Решение E, d определяет параметры эллипсоида:
b b |
c |
b |
b |
|
P = E−2, |
x |
= E−1d |
||
|
b |
|
|
|
&
22/29
'
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
1 |
||||||||||
Синим цветом показан эллипс, минимальный по критерию нормы
Зеленым по критерию следа &Красным по критерию объема
23/29
'
КОНКУРС АЛГОРИТМОВ
В пространстве Rn заданы N точек:
x1, . . . , xN Rn
Из них нужно выбросить R точек так, чтобы оставшиеся N − R точек содержались в эллипсоиде минимального объема.
Пусть
• n = 2, N = 20, R = 10 (C2010 = 184756)
•точки x1, . . . , x20 R2 генерируются случайно в квадрате x ∞ 6 10
•реализация в среде Matlab
•продолжительность работы не более 180 секунд
Сравнение алгоритмов:
•10 тестовых наборов точек
•по каждому набору занимаемые места соответствуют объему эллипсоида
&• минимальная сумма мест = победитель
24/29
'
Пример
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10 
−10 −5 0 5 10
&
25/29
'
Пример (продолжение)
8
6 |
4
2 
0
−2
−4
−6
−8
−10 
−15 −10 −5 0 5 10 15
&
26/29
'
Возможный подход к решению
Пусть di штраф за непопадание точки xi в эллипсоид. Рассмотрим вектор d = (d1 · · · dN )
Как минимизировать число его ненулевых компонент? Назовем l0-нормой вектора x Rn величину
. |
n |
x 0 = |
∑i |
| sign xi| |
|
|
=1 |
•x 0 есть число ненулевых компонент вектора x
•x 0 не является нормой (нет однородности)
• Единичный шар S = {x Rn : |
x 0 6 1} |
невыпукл (координатные оси!) |
• Трудная задача: x 0 −→ min |
ïðè g(x) 6 0 |
|
& |
|
|
27/29
' |
|
|
|
Èäåÿ l1-оптимизации |
|||||
Пусть x Rn. Вспомним 1-норму вектора: |
|||||||||
|
. |
|
n |
||||||
|
|
|
|
x 1 = |
∑i |
||||
|
|
|
|
|
|xi| |
||||
|
минимизация 1-нормы вектора |
= нулевые компоненты |
|||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лемма. Если задача минимизации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1 −→ min |
при ограничениях |
Ax = b, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå A |
R |
m×n, b |
R |
m, x |
n, m < n, разре- |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||
шима, то существует решение x с не более |
|
|
|
|
|
|
|
|
a x = b |
|
|
||||||
÷åì m ненулевыми компонентами. |
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
b |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: m = 1, n = 2 |
|
−0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||x||1 = const |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Насколько хорошо min x 1 аппроксимирует |
−1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−2 |
−2 |
−1.5 |
−1 |
−0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 2 |
2.5 |
3 |
|||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28/29 |
|
min x 0 при иных ограничениях? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
'
Спасибо за внимание!
&
29/29