lecture-khlebnikov
.pdf
'
ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ÈЭЛЛИПСОИДЫ
Ì.В. Хлебников
(Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН)
V Традиционная всероссийская молодежная летняя школаУправление, информация и оптимизация
& Солнечногорск, 16 23 июня 2013 г.
1/29
'
(Полу)определенные матрицы
Пусть A = A Rn×n
•Матрица A называется положительно определенной (A 0), åñëè
x Ax > 0 |
|
x |
R |
n, x = 0 |
|
|
̸ |
•Матрица A называется неотрицательно определенной (A < 0), åñëè
x Ax > 0 x Rn
•Запись A B означает, что A − B 0
•Матрица A называется отрицательно (неположительно) определенной
(A 0, A 4 0), åñëè −A положительно (неотрицательно) определена
•A (<)0 = λi(A) > (>)0
&
2/29
'
Элементарные свойства (полу)определенных матриц
Пусть A, B, C, D матрицы соответствующих размерностей
• A (4)0, B (4)0 = A + B (4)0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
• A (4)B, C (4)D = A + C (4)B + D |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
• |
|
R |
n×m |
|
|
A A |
< |
0, AA |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
= |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
• |
A квадратная невырожденная |
|
|
= |
|
|
A A |
|
0, AA |
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
A |
|
0, |
|
B полного строчного ранга |
|
= |
BAB |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
|
< |
|
|
|
|
BAB |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
0 |
|
= |
|
|
0 для любой матрицы B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 |
4 |
B−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
B |
|
0 = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
• |
A = A = |
|
λ |
min |
(A)I |
4 |
A |
4 |
λ |
max |
(A)I |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
& |
4 A 4 B |
= |
|
λmax(A) 6 λmax(B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3/29
'
Что такое линейное матричное неравенство ?
Линейная система:
x = Ax, x(0) = x0, A Rn×n
Устойчивость линейной системы ( x(t) −→ 0) эквивалентна существованию квадратичной функции Ляпунова
V (x) = x Qx: |
|
|
V (x) > 0, V_ (x) < 0 (производная в силу системы) |
|
Имеем: |
|
|
|
|
V_ (x) = |
d |
|
(x Qx) = x Qx + x Qx = x (A Q + QA)x < 0 |
|
dt |
||||
|
|
|||
= неравенство Ляпунова:
A Q + QA 0
относительно матрицы 0 Q Rn×n
n(n + 1)/2 переменных q
& ij входят в матричное неравенство линейно!
4/29
'
Каноническая форма LMI
Линейное матричное неравенство ≡ Linear Matrix Inequality ≡ LMI
Fi = Fi Rn×n, i = 0, . . . , ℓ, матричные коэффициенты xi R, i = 1, . . . , ℓ, скалярные переменные
Каноническая форма LMI:
∑ℓ
F (x) = F0 + xiFi 0
i=1
Оно эквивалентно числовому неравенству
( )
λmax F (x) < 0
( )
но функция λmax F (x) нелинейна ïî x!
&
5/29
'
Приведение LMI к канонической форме
Сведем матричное LMI
AX + XA + Q 4 0
к канонической форме. Пусть
E1, . . . , Eℓ, |
ℓ = n(n + 1)/2 |
||||
базис в пространстве Sn×n. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|||
|
|
∑i |
|||
|
X = |
xiEi |
|||
|
|
=1 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|
|
|
|
Q + |
xi (AEi + EiA ) 4 0 |
||||
|{z} |
| |
|
{z |
|
} |
F0 |
=1 |
|
Fi |
||
∑i |
|
||||
&
6/29
'
Кое-что из истории вопроса
• Первое LMI:
A Q + QA 0
А. М. Ляпунов (1892), теория устойчивости
• Термин матричные неравенства : В. А. Якубович (1962), задачи абсолютной устойчивости
It is fair to say that Yakubovich is the father of the <LMI> eld, and Lyapunov the grandfather (Ñ. Áîéä)
•Выпуклость LMI: Е. С. Пятницкий, В. И. Скородинский (1982)
•Численные методы (методы внутренней точки): Ю. Е. Нестеров, А. С. Немировский (1988)
Задача может считаться решенной, если она сведена к формату LMI!
Nesterov Yu., Nemirovskii A. Interior-point polynomial algorithms in convex program- &ming. Philadelphia: SIAM, 1994.
7/29
'
Кое-что из истории вопроса (продолжение)
•Формулировка задач теории систем и управления в терминах LMI: S. Boyd (1994)
•Программные пакеты для среды Matlab, удобный интерфейс: SeDuMi (J. Sturm, 1998), YALMIP (J. Lofberg, 2001), cvx (S. Boyd, 2005)
•Использование аппарата LMI в управлении: Д. В. Баландин, М. М. Коган (2007)
Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.
Sturm J. F. Using SeDuMi 1.02, a Matlab toolbox for optimization over symmetric cones (updated for version 1.05). URL http://sedumi.ie.lehigh.edu/
Grant M., Boyd S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming (web page and software). URL http://stanford.edu/~boyd/cvx
Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных мат- &ричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.
8/29
'
Элементарные свойства
• выпуклость:
( )
F (x) 0, F (y) 0 = F λx + (1 − λ)y 0 λ [0, 1]
• объединение нескольких LMI: |
F1(x) . |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Fi(x) 0, i = 1, . . . , m |
|
.. |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Fm(x) |
|
|
• двустороннее домножение: |
|
|
|
|
|
|
||||
F (x) |
|
0, |
M полного строчного ранга |
= MF (x)M |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
MF (x)M |
4 |
|
|
|
|
|
F (x) |
|
0, M произвольная |
= |
|
0 |
|
|
||
&
9/29
'
Пример: степень устойчивости
Система
x = Ax, x(0) = x0
Знаем:
A Q + QA |
|
0, Q |
|
0 = Re λ(A) < 0 |
|
|
|
но степень устойчивости
σ(A) = − max Re λi(A)
i
может быть сколь угодно малой! Однако
A Q + QA |
4 − |
|
|
|
6 − |
|
|
2σQ, Q |
|
0 = Re λ(A) |
|
σ |
так как эквивалентно
(A + σI) Q + Q(A + σI) 4 0
&
10/29