Механика(мод2)

где εk - кинетическая энергия молекулы.

Учтем, что

прямоугольном параллелепипеде в пространстве скоростей, изображенном на рис. 2.3. Другими словами, это вероятность того, что молекула имеет

проекцию скорости на ось х в интервале отvх до vх + dvх и в подобных же интервалах для значений vy и vz.

§ 1. Распределение Максвелла

Подставим в распределение (2.12а) константу А из (2.13) и запишем его в следующем виде:

r

Из (3.1) видно, что вероятность dw vr не зависит от направления вектора v ,

а зависит только от его модуля. Поэтому в формуле(3.1) в качестве элементарного объема в пространстве скоростей вместо прямоугольного параллелепипеда можно взять бесконечно тонкий сферический слой(см.

рис. 3.1), радиус которого v, а толщина dv. В этом элементарном объеме все модули скоростей с отклонением, не превышающем dv, равны v. Перейдем, таким образом, от dvх, dvy ,dvz к 4πv2dv, где 4πv2 - площадь сферы в пространстве скоростей, изображенной на рис. 3.1.

Рис. 3.1

После чего формула (3.1) принимает вид:

где dwv- вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале отv

до v + dv.

Формулу (3.2) обычно записывают в виде:

где

Полученную Д.К. Максвеллом функцию F(v) принято называть функцией распределения вероятностей или функцией распределения Максвелла.

Из (3.3) следует, что:

F(v) = dw v , dv

поэтому F(v) называют еще и плотностью вероятности.

График функции распределения Максвелла приведен на рис. 3.2.

§ 2. Как найти число молекул идеального газа, величина скоростей которых находится в интервале от v1 до v2

Пусть общее число молекул исследуемого идеального газа равноN.

Выразим dw в формуле (3.3) в соответствии с формулой(2.2), F(v)

подставим из формулы (3.4), тогда число молекул dNv (см. формулу (3.3)),

имеющих скорости в интервале от V до v+dv , можно найти из формулы:

Эту формулу обычно и называют распределением Максвелла.

значение скорости в интервале отv1 до v2 . В отличие от рис. 3.2 это уже площадь заштрихованной криволинейной трапеции(см. рис. (3.3)), а не бесконечно узкой полоски.

Рис. 3.3.

Пользуясь формулой (3.7) можно также найти число молекул, скорости которых:

а) v < v1; б) v > v2(см. рис. 3.4).

Рис. 3.4 а,б