Механика(мод2)

p = Nx < Fx > . S

За время t до стенки долетят лишь те молекулы, которые находятся от стенки не дальше, чем на расстоянииvΔt и имеют положительную проекцию скорости vx (летят к стенке). В силу хаотичности движения

молекул можно принять, что в положительном направлении осиx, к стенке, движется 1/6 часть всех молекул, 1/6 движется в отрицательном направлении оси x, аналогично - по осям y и z. Выразим число молекул в объеме Sv t (см. рис. 1.4) через их концентрацию n (1.4):

N = nSv t .

Рис. 1.4

Тогда

Nx = 1 N = 1 nSvDt

6 6

И

Предыдущие рассуждения велись так, как будто бы скорости всех молекул

v2

одинаковы. Чтобы учесть различие скоростей молекул надо вместо

взять <v2> - среднее значение этой величины. Тогда для давления получим:

поступательного движения одной молекулы.

§ 6. Молекулярно-кинетический смысл температуры. Средняя энергия одной молекулы

Запишем рядом два уравнения: уравнение состояния идеального газа в

Для материальной точки это число равно трем, . к. ее положение (3.4) полностью определяется тремя координатами x, y, z.

молекулы идеального газа, таким образом, для нее i = 3.

двухатомной жесткой молекулы i = 3 + 2 = 5.

Для жесткой многоатомной молекулы, с количеством атомов больше двух, число степеней свободы i = 6. Здесь добавляется еще один угол поворота, изменяющего пространственное положение молекулы.

Если модель жесткой молекулы неприменима, то необходимо учитывать и колебательные степени свободы.

средняя потенциальная энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна (1/2) kT.

Таким образом, средняя энергия одной молекулы

< e >= i kT ,

2

причем всегда iпост = 3.

2. Распределение Больцмана. Распределение Максвелла-Больцмана.

Распределение Больцмана.

Барометрическая формула Распределение Больцмана. Распределение Максвелла-Больцмана.

§ 1. Основные понятия классической и квантовой статистики

статистики является идеальный газ.

Вобщем случае для описания движения микрочастиц, необходимо

квантовой статистикой. Основы квантовой статистики будут даны в этих лекциях после изложения раздела "Квантовая физика".

Одним из основных понятий статисти(каки классической, так и квантовой) является вероятность. Пусть какая-либо физическая система может находиться в различных физических состояниях. Предположим, что эти состояния дискретны, т.е. характеризующие их физические величины изменяются скачками и каждое состояние характеризуется определенным

значением хi некоторой физической величины х. В некоторых состояниях

система будет проводить большее время, в некоторых - меньшее. Будем измерять величину х некоторое число разN. Обозначим Ni - число измерений, каждое из которых дает значение измеряемой величиных,

равное хi. Вероятность wi того, что величина х имеет значениехi,

называется предел отношения числа Ni к полному числу измерений N при стремлении N к бесконечности, т.е.:

Дискретное значение физических величин - характерная особенность всех микрочастиц (атомов, молекул). Например, энергия вращательного и колебательного движения молекулы может меняться только дискретно, скачками. Про такую величину говорят, что она квантуется.

Вместе с тем, можно с большой точностью считать, что энергия поступательного движения молекул не квантуе, т.сяе. изменяется непрерывно, значит, непрерывно меняется и скорость молекул газа., также и координата молекул в пространстве. Для непрерывной случайной

величины, например, скорости молекулы v, вероятность dwv того, что

скорость молекулы v принимает значения в интервале отv до v + dv вычисляется так:

которых скорость молекулы попали в интервал от v до v + dv.

Очевидно, что:

Аналогично и для непрерывной случайной величины. Из (2.2) следует, что:

§ 2. Барометрическая формула

Пусть идеально термодинамически равновесный газ, имеющий везде одну и ту же температуру находится в однородном поле тяготения Земли. При этом каждая молекула газа имеет потенциальную энергию:

ep = m0gz ,

(воздуха, например) высотой dz, изображенного на рис. 2.1:

Рис. 2.1

r

F(z + dz) + F(z) + g × dm = 0,

формулой. В ней ро - давление на поверхности Земли, где z = 0.

§ 3. Распределение Больцмана

Рис. 2.2

Это полученное Больцманом соотношение называется распределением Больцмана. Оно выполняется в любом потенциальном поле, например, в неоднородном поле тяготения. В этих случаях:

где dWrr - вероятность того, что молекула имеет координаты отх до х +

dx, от y до y + dy, от z до z + dz; В - постоянный множитель, получаемый из условия нормировки (2.4):

-¥ -¥ -¥

§ 4. Распределение Максвелла-Больцмана

Молекулы идеального ,газанаходящегося в термодинамическом равновесии, вполне определенным образом распределены не только по координатам, но и по проекциям своих скоростей. Максвеллом было получено следующее соотношение: