5. Определение вектора. Линейные операции с векторами. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы. Проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок.

Нулевой вектор – вектор, у которого начало совпадает с концом. (а + 0 = а; а = 0 ↔|а|=0)

Линейные операции с векторами:

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.(правило треугольника)

  Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу и рассмотрим параллелограмм AOBC. Из определения 5.4 и треугольника ОВС следует, что ОС=b+a, а из треугольника ОАС – ОС=а+b. 

Замечание. При этом сформулировано еще одно правило сложения векторов – правило параллелограмма: сумма векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенного на них как на сторонах, выходящая из их общего начала.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).

           (a+b)+c=(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,

            a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.(Это следует из определения)

Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

Доказательство. Достаточно определить a^/  как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.

Разностью а – b  векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

 

Два вектора aиb ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулюa·b=0 (если угол междуними равен прямому углу, т.е.  )

Коллинеарные – если два вектора находятся на параллельных прямых или на одной примой.

Компланарные - если два вектора лежат на одной плоскости и исходят из одной точки.

Проекция вектора на ось - длина между перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора.

6. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Определение базиса. Разложение вектора по базису. Примеры базисов.Система координат.Действия с векторами в координатной форме. Условие коллинеарности.

Линейно зависимые вектора – если существуют числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю. - если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде комбинаций остальных. (2 определ. следует из 1)

Линейно независимые вектора – если линейная комбинация (формула для л.з.ч.=0) лишь при условии с1=с2=сn.

- если ни один из них этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Базис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости. Если е1, е2 – базис на плоскости, то для любого вектора а, лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа х1 и х2, что будет а=х1е1+х2е2.Числа х1 и х2 называются координатами вектора а в данном базисе.

Совокупность любых трех линейно независимых векторов е1, е2, е3 в пространстве называется базисом в пространстве. Если а – произвольный вектор, то всегда можно найти единственным образом числа х1, х2, х3 такие, что будет иметь место представление: а=х1е1+х2е2+х3е3. Коэффициенты х1, х2,х3 в разложении данного вектора по базису называются координатами вектора а в базисе е1, е2, е3.

Система координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Условие коллинеарности: а не = 0, b не = 0.

7)скалярное произведение двух векторов, его свойства. Условие ортогональности двух векторов.

Если aиbколлинеарны, то a=b.

Если а перпендикулярно b, а*b=0.

Условие ортогональности двух векторов: для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

8)выражение скалярного произведения векторов через их координаты.Длина вектора.

.

Длина вектора:.

9)векторное произведение векторов, его свойства. Геометрический смысл векторного произведения.

Определение: Под векторным произведением двух векторов  и  понимается вектор,  для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами  и 

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство 

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов  и : 

Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения векторов  и  равна площади параллелограмма со сторонами  и  и углом между ними, равным .

10)выражение векторного произведения векторов через их координаты.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов  и  есть вектор , где  - координатные векторы.

11)Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Условие компланарности трех векторов.

12)Выражение смешанного произведения векторов через их координаты. Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов.

13)Общее уравнение плоскости в пространстве.Теорема:уравнение первой степени от трех переменных задает в пространстве плоскость.

14)Различные виды уравнений плоскости в пространстве, угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

15)Уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

16)Расстояние от точки до плоскости.

17) Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола). Вывод канонического уравнения кривых эллипса.

18)Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка.

19)Эллипсоид, конус, гиперболоиды, параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей. Исследование их форм методом сечений.

20)Матрицы. Линейные операции над матрицами. Правило умножения матриц.

21)Обратная матрица. Определение и условие существования, единственность.

22)Ранг матрицы. Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований.

23)Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

24)системы n линейных уравнений в n неизвестными. Теорема Крамера. Формулы Крамера.

25)Элементарные преобразования систем. Ступенчатые системы. Приведение произвольной линейной системы к ступенчатому виду.

26)Теорема о решениях ступенчатой системы.

27)Теорема Кронекера-Капелли.

28)Определение функции. Область определения. Монотонная функция. Четная и нечетная функции. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции.

29)Определение предела функции в точке(конечной и бесконечной). Простейшие пределы limc = c (x-a) и limx =a (x-a). Единственность конечного предела.

30)Свойства функций, стремящейся к конечному пределу (ограниченность функций, имеющей конечный предел; теорема о сжатой переменной; предельный переход в неравенстве).

31)Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования конечного предела. Непрерывность функции в точке.

32)первый замечательный предел limsinX/X (x-0).

33)Теорема о монотонной ограниченной функции и последовательности (без доказательства). Второй замечательный предел.

34)Бесконечно малые функции, из свойства. Необходимое и достаточное условие стремления функции к конечному пределу.

35)Бесконечно большие функции и их свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции.

36)Предел суммы, произведения и частного функций, стремящихся к конечным пределам.

37)Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Примеры эквивалентных бесконечно малых. Замена бесконечно малой на эквивалентную при вычислении пределов.

38)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

39)свойства функций, непрерывных в точке.

40)Классификация точек разрыва функции.

41)Определение производной. Примеры нахождения производной с помощью определения.

42)Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной.

43)Дифференцируемость функции в точке. Непрерывность дифференцируемой функции.

44)Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантности формы первого дифференциала.

45)Производная и дифференциал суммы, произведения и честного двух функций.

46)Теорема о дифференцируемости сложной функции. Производная обратной функции.

47)Правило логарифмического дифференцирования. Его применение к нахождению производных функций f(x)=a^x, f(x)=x^a.

48)Производные и дифференциалы высших порядков.

49)Таблица производных.

50)Дифференцирование функций, заданных параметрически (первая и вторая производные).

51)Определение вектор-функции скалярного аргумента. Годограф. Производная вектор-функции скалярного аргумента.

52)Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой, заданной параметрически.

53)Теорема Ролля, ее геометрический смысл.

54)Теорема Коши. Формула конечных приращений Лагранжа, ее геометрический смысл.

55)правило Лопиталя.

56)Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа. Формулы Тейлора первого и второго порядков.

57)Формулы Тейлора(Маклорена) для функций y=e^x, y=sinX, y=cosX, y=ln(1+x),y=(1+x)^aв окрестности точки х=0.

58)Необходимое и достаточное условие возрастания(убывания) функции y=f(x).

59)Определение экстремума функции y=f(x). Необходимое условие экстремума.

60)Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

61)Достаточное условие экстремума, использующее вторую производную.

62)Определение направления выпуклости графика функции y=f(x). Признак выпуклости вверх и выпуклости вниз. Точки перегиба графика функции.

63)Асимптоты графика функции y=f(x). Правило нахождения вертикальных и невертикальных асимптот.