5. Основные понятия алгебры логики

Самостоятельная работа [3] – стр. 108–143; [4] – стр. 122–146

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий логические высказывания и логические операции над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

«студент 511 группы», «в городе более миллиона жителей» (без указания названия города) – не логические высказывания. «Иванов – студент 511 группы», «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жителей» – логические высказывания.

Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» называются логическими связками. Они позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более сложные высказывания.

Составные высказывания – образованы из других с помощью логических связок. Пример: Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

Элементарные высказывания – не содержат в себе других высказываний.

Для того чтобы исследовать общие характеристики высказываний, отвлекаясь от предметной области, к которой они относятся, их обозначают буквами латинского алфавита и рассматривают как логические переменные, принимающие только два значения: «истина» и «ложь». Каждая логическая связка рассматривается как операция, результат которой зависит от значений входящих в неё переменных (то есть высказываний). Для упрощения записи вместо слов «истина» и «ложь» используют двоичные цифры: «истина»=1, «ложь»=0.

Пример:

А = «Тимур поедет летом на море»; В = «Тимур летом оправится в горы»

А и В = «Тимур летом побывает и на море, и в горах»

Основные логические операции (иерархия сверху вниз):

Название	Обозначение	Результат
Отрицание, инверсия (связка «не»)	А, А	А=0 А=1 А=1 А=0
Коньюнкция, лог. умножение (связка «и»)	АВ, А&В, А^В	А=1, В=1 АВ=1, в остальных случаях – =0
Дизъюнкция, лог. сложение (связка «или»)	АvВ, А+В	А=0, В=0 АvВ=0, в остальных случаях – =1
Импликация (связки «если…, то…», «из… следует…», … влечёт…»	АВ	А=1, В=0, то А В=0, в остальных случаях =1
Эквиваленция, двойная импликация (связки «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «…равносильно…»,	АВ; АВ	А=1, В=1 АВ=1 А=0, В=0 АВ=1 А=1, В=0 АВ=0 А=0, В=1 АВ=0

Пример:

Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

А = «завтра будет дождь»; В = «я возьму зонтик»; С = «я никуда не пойду». В символах логики эту фразу можно записать так: А(ВvС)

При анализе логических высказываний (как элементарных, так и составных) удобно пользоваться таблицами истинности – в них представлены результирующие значения составного высказывания при всех возможных сочетаниях значений элементарных высказываний, которые входят в составное.

Пример таблиц истинности для основных логических операций

Коньюнкция А В F=АВ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Дизъюнкция А В F= АvВ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Импликация А В F= А В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Эквиваленция А В F= АВ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Примеры анализа сложных логических формул с помощью таблиц истинности

1. Анализ логического высказывания «А и не В и не А»

А	В	Y1=А	Y2=В	Y3=А и Y2	Y4=Y3 и Y1
0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	0

Ответ: выражение тождественно ложно.

2. Анализ логического высказывания «А и не А или В»

А	В	Y1=А	Y2=А и Y1	Y3=Y2 или В
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	1	0	0	1

Ответ: Значение выражения совпадает со значением В при любом А.

Так же, как и для чисел, существуют законы, позволяющие производить тождественные преобразования сложных логических выражений к более понятному и удобному виду. Разобрать самостоятельно: [3] – стр. 119; [4] – стр. 136–138

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Лекция № 2. Технические средства реализации информационных процессов – 2 час.

Самостоятельная работа студента (СРС) – 10 час. Работа с учебником [1]: стр. 44­–50; стр. 58–61; стр. 71–100.