Актуальность

Актуальность данной рассматриваемой темы очень хорошо просматривается, т. к. канторовская теория применима в большом спектре научных областей: информатике, химии и др.

Теория Георга Кантора

Основные понятия теории частично упорядоченных множеств:

1. Определение и примеры

2. Предпорядки

3. Частично упорядоченное множество P=‹P,› -основные понятия

4. Особые элементы

5. Ранжирование частично упорядоченных множеств.

6. Порядковые гомоморфизмы

7. Идеалы и фильтры

8. Конусы

9. Точные грани

1. Определение и примеры

Определение: Пару, где- непустое множество, а- рефлексивное, антисимметричное и транзитивное бинарное отношение на нем, часто называютчастично упорядоченным множеством( сокращенно ч.у. множеством)

Рефлексивность (R) :;

Антисимметричность: (AS):

Транзитивность(T):

Примеры:

• - классический пример ч. у. множества( упорядочивание множеств по включению,

• и- два упорядочивания одного множества

2. Предпорядки

Рассмотрим данную тему сразу на примере:

Пример: Пусть - множество людей,- рост, а– вес человека. Определим на отношениена:Является лиотношением частичного порядка на

Ответ: Нет. т.к. – рефлексивно и транзитивно, но не является антисимметричным отношением:(могут найтись два человека с одинаковым ростом и весом)

Отношения со свойствами (иназываются предпорядками..

3. Частично упорядоченное множество P= (P,- основные понятия:

• Если , тоисравнимыиначе они несравнимы

• Полный (линейный) порядок, если

• Если в нет ни одной пары различных сравнимых элементов, то это тривиально упорядоченное множество

• непосредственно предшествуетнепосредственно следует заесли

• - интервал

• - цепь, а совокупность попарно несравнимых элементов – антицепь в.

• епь максимально( насыщенная), если при добавлении к ней любого элемента она перестает быть цепью

• - двойственный кпорядок:

4. Частично упорядоченные множества: особые элементы

Определение: элемент ч. у. множестваназывают:

• Максимальным, если

• Минимальным, если

• Наибольшим, если

• Наименьшим, если

Для любых

Элемент наибольший, если все другие элементы содержатся в нем, и он минимальный, если нет элементов , содержащих его ( аналогично для наименьшего и минимального элементов.

¹

²

Наибольший(1) и наименьший(0) –граничные элементы. В конечном частично упорядоченном множестве имеется как минимум по одному максимальному и минимальному элементу

5. Ранжирование частично упорядоченных множеств

Цепное условие Жордана - Дедекинда: Все максимальные цепи между двумя данными элементами локально конечного ч.у. множества имеют одинаковую длину.

Если ч. у. множество удовлетворяет условию Жордана – Дедекинда и имеет наименьший элемент 0 , то оно ранжируемо, т. е. на нем можно определить функцию ранга

• 

• и такое множество имеет слои

-----

-

-

-

Если множество ранжируемо, то любой его слой( ноне только) является антицепью.

6. Порядковые гомоморфизмы

Определение: Отображение носителей ч. у. множеств называется соответственно

• Изотонным( монотонным, порядковым гомоморфизмом) если

• Обратно изотонным, если

• Антиизотонным, если

Если изотонно, обратно изотонно и инъективно, то это вложение или (порядковый) мономорфизм ( символически)

Cюръективный мономорфизм - ( порядковый) изоморфизм ( символически)

Изоморфизм ч.у. множества в себя - (порядковый) автоморфизм

7. Идеалы и фильтры частично упорядоченных множеств

Определение: Подмножество элементов ч.у. множестваназывается его ( порядковым) идеалом, если

Подмножество элементовназывается его (порядковым) фильтром, если

∅ и все множество – порядковые идеалы. Важное свойство: объединение и пересечение порядковых идеалов есть порядковый идеал.

Обозначение: - множество всех порядковых идеалов частично упорядоченного множества.

8. Конусы

Определение: Пусть - ч.у. множество и. Множества.

И

Называют верхними и нижними конусами множества , а их элементы – верхними и нижними гранями множествасоответственно. Для одноэлементного множества

Понятно, что если идеал, а- фильтр– такие идеалы и фильтры называют главными

Конечнопорожденный идеал:

9. Точные грани

Определение: Пусть - ч. у. множество и.

• Наименьший элемент в называется точной верхней границей гранью множества

• Наибольший элемент в называется точной нижней гранью множества

Пример: (sup Aи/или inf A могут и не существовать)

,но множество не имеет инфимума⇒ sup отсутствует.

отсутствует inf [2]

c d

a b

Применение частично упорядоченных множеств на практике

Частично упорядоченное множество - один из типов бинарного отношения. Отношение частичного порядка является одним из фундаментальных общематематических понятий и широко используется в теоретической математике, в системах логического вывода и во многих других приложениях. Оно является обобщением таких широко известных бинарных отношений как "меньше или равно" (Ј) для чисел и "включено или равно" (Н) для множеств. Обозначение "Ј" часто используется не только для обозначения отношения "меньше или равно" на множестве чисел, упорядоченных по величине, но и для обозначения произвольного отношения частичного порядка[3]. А так же для создания графов, решения задач с помощью ч.у. множеств и многое другое. Как мы видим, спектр применения частично упорядоченных множеств довольно широк.