2. Усовершенствованный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций.

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (4.5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезкебудет вычисляться не по левому краю (то есть в точке), а по центру отрезка. Но так как значение производной между точкамине вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкамцентром, в которых является точка, при этом уравнение прямой получает вид:

(4.6)

А формула (5) получает вид

(4.7)

Формула (4.7) применена только для , следовательно, значенияпо ней получить нельзя, поэтомунаходят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (4.5) находят значение

(4.8)

В точке а затем находитсяпо формуле (4.7) с шагом

(4.9)

После того как найдено дальнейшие вычисления припроизводится по формуле (4.7)

….

3. Модифицированный метод (Эйлера-Коши)

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

(4.10)

Коррекция:

(4.11)

Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке, а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

4. Метод Рунге-Кутты

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка -  широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсонадля приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в  трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [x_i+1 , x_i].

тогда можно определить так

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся  еще не определенные значения функции y_i+h/2 и y_i+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений.

 

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h⁴):

где

Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным.

Задание к лабораторной работе №4

Таблица 4.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

№ варианта	Функции	Начальные условия	Интервал
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.4.1.

Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее:

1. Подобрать оптимальный шаг интегрирования дифференциального уравнение методом Эйлера при котором относительное изменение решения составит 5%. Первоначальный шаг hвыбрать равным 1/10 интервала интегрирования. Последующие шаги уменьшать в 2 раза. Используя программу расчета в средеMathcadпроверить результаты.

2. Решить дифференциальное уравнение усовершенствованный методом Эйлера взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad.

3. Решить дифференциальное уравнение модифицированным методом Эйлера-Коши взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad.

4. Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad.

5. Сравнить точность расчетов приведенных методом.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

4. Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Эйлера.

2. Объяснить суть решения дифференциального уравнения усовершенствованный методом Эйлера .

3. Объяснить суть решения дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера-Коши.

4. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты .