![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лабораторная работа №3 численное интегрирование в задачах электротехники
- •Содержание работы
- •Методические указания
- •1.Метод прямоугольников
- •2. Метод трапеций
- •3. Метод парабол (Симпсона)
- •4. Погрешности расчетов
- •Лабораторная работа №4 численное дифференцирование в задачах электротехники
- •Методические указания
- •1. Метод Эйлера
- •2. Усовершенствованный метод Эйлера
- •3. Модифицированный метод (Эйлера-Коши)
- •4. Метод Рунге-Кутты
- •Лабораторная работа №5
- •2. Метод Гаусса
- •3. Метод простой итерации (метод Якоби)
- •4. Метод Гаусса – Зейделя
- •Лабораторная работа №6
- •Закон Ома в матричной форме
- •Первый закон Кирхгофа в матричной форме
- •Второй закон Кирхгофа в матричной форме
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Задание к лабораторной работе №6
- •Лабораторная работа №7 анализ переходных процессов в электрических цепях с использованием Mathcad
- •Содержание работы
- •Методические указания
- •Пример:
- •Контрольные вопросы
- •350072, Краснодар, Московская, 2а
- •350072, Г. Краснодар, ул. Московская, 2, корп. «в», оф. В-120
Методические указания
1. Метод Эйлера
Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенными дифференциальными
уравнениями называются такие уравнения,
которые содержат одну или несколько
производных от искомой функции
.
Их можно записать виде
(4.1)
независимая
переменная
Наивысший порядок
,
входящий в уравнение (4.1) называется
порядком дифференциального уравнения.
Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной
(4.2)
Решением дифференциального уравнения
(1) называется всякая функция,
которая после ее подстановки в уравнение
обращает его в тождество.
Основная задача, связанная с линейной
ОДУ известно как задача Каши: найти
решение уравнения (2) в виде функции
удовлетворяющий начальному условию
(4.3)
Геометрически это означает, что требуется
найти интегральную кривую,
проходящую через точку
)
при выполнение равенства (2).
Численный с точки зрения задачи Каши
означает: требуется построить таблицу
значений функции
удовлетворяющий уравнение (4.2) и начальное
условие (4.3) на отрезке
с некоторым шагом
.
Обычно считается, что
то есть начальное условие задано в левом
конце отрезка.
Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.
Пусть дано уравнение
с начальным условием
то есть поставлена задача Каши. Решим
вначале следующую задачу. Найти простейшим
способом приближенное значение решения
в некоторой точке
где
-достаточно
малый шаг. Уравнение (4.2) совместно с
начальным условием (4.3) задают направление
касательной искомой интегральной кривой
в точке
с координатами
Уравнение касательной имеет вид
Двигаясь вдоль этой касательной,
получим приближенное значение решения
в точке
:
или
(4.4)
Располагая приближенным решением в
точке
можно повторить описанную ранее
процедуру: построить прямую проходящую
через эту точку с угловым коэффициентом
,
и по ней найти приближенное значение
решения в точке
.
Заметим, что эта прямая не является
касательной к реальной интегральной
кривой, поскольку точка
нам не доступна, однако если
достаточно
мало то получаемые приближенные будут
близки к точным значениям решения.
Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек
.
Получение таблицы значений искомой
функции
по методу Эйлера заключается в циклическом
применение формулы
(4.5)
Рисунок. 4.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке xiназывается устойчивым, если найденное в этой точке значение функции yiмало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (yi) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования
где
- решение, рассчитанное с шагом 2h,
– решение, рассчитанное с
шагом h.