математика в виде шпор 25-50

46. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения (х) называется число а = М(Х), определяемое равенством:

2. Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(Х) = М[Х-a]², а=M(X).

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

48. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x (x- определенное возможное значение X) называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности :

Для непрерывных величин:

где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание есть функция от x , т.е.

( ) называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной

величины X и функции регрессии X на Y.

Зависимые и независимые случайные величины

• Теорема. Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (Х, У) была равна произведению функций распределения составляющих: F(x,y)= F₁(x)F₂(y)

• Ковариацией (или корреляционным моментом) называется математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих математических ожиданий:

47.Осн. законы распределения вероятностей случ. величин.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1, 2,…,m,….,n с вероятностями р(m) = Р(Х = m) = C_n^m р^m q^n-m, где 0 < p <1, q = 1─ р.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, даются формулами

M(X) = np, D(X) = npq.

Следствие. Математическое ожидание величины (m/n) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. M(m/n) = р, D(m /n)=pq/n. Paспределение Пуассона.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с вероятностями р(m) = Р(Х=m) =е^─λ λ^m/m! , где λ = np.

Tеорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона. т.е. М(Х) = λ, D(X)= λ.

Распределение Пуассона ─ частный случай биномиального закона распределения для относительно больших n и относительно малых р.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и ² , если её плотность вероятности имеет вид:

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону, есть

Её математическое ожидание:

и дисперсия

Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.