6.6 Алгоритм Джонсона решение задачи о двух станках

1. Рассматриваются интервалы времени и, определяется величина.

2. Если эта величина находится в столбце , то-ю деталь помещаем на первый станок в первую очередь. Если эта величина находится в столбце, то-я деталь занимает последнее место на первом станке.

3. Вычеркиваем выбранную деталь, и продолжаем процедуру поиска, повторяя шаги 1 и 2. В случае одинаковых значений выбираем любую деталь. Полученная последовательность обработки деталей будет оптимальной.

Пример. Пусть время обработки пяти деталей на двух машинах задана в таблице:

i	ai	bi
1	3	6
2	7	2
3	4	7
4	5	3
5	7	4

Построим диаграмму Ганта обработки деталей в начальный момент времени (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 – Начальное расписание

По графику видно, что начальный порядок обработки деталей допускает простои второго станка (суммарное время простоев 8 единиц), длина производственного цикла равна 30 единицам времени.

По алгоритму Джонсона определим величину . В нашем примере эта величина равна. Таким образом, деталь 2 на первом станке обрабатывается последней.

i	ai	bi	i
1	3	6
2	7	2	5
3	4	7
4	5	3
5	7	4

Продолжаем процедуру поиска. Среди не вычеркнутых элементов ищем . После выбора второй детали минимальное время равно 3, и оно соответствуети. Мы можем выбрать любую деталь, поэтому произвольно выбираем, т. е. помещаем на первое место деталь 1. Теперь минимальное время соответствует. Следовательно, деталь 4 ставится на предпоследнее место.

i	ai	bi	i
1	3	6	1
2	7	2	5
3	4	7
4	5	3	4
5	7	4

Следующая минимальная величина равна 4 (и). Можем назначить 2-е место на первом станке для детали 3 и 3-е место для детали 5.

i	ai	bi	i
1	3	6	1
2	7	2	5
3	4	7	2
4	5	3	4
5	7	4	3

Полученная последовательность обработки деталей на двух станка =(1, 3, 5, 4, 2) будет оптимальной.

Эта последовательность представлена диаграммой Ганта на рис.6.3.

Рисунок 6.3 – Оптимальное расписание

Из рис. 6. 3 видно, что время обработки всех деталей равно 28 единиц и суммарное время простоев - 6 единиц.

Замечание. Алгоритм Джонсона применим для последовательности деталей, проходящих последовательную обработку на 3-х станках, в двух нижеследующих случаях:

или .

Тогда осуществляется поиск оптимальных строк по суммам

или .

Пример. Пусть операции над деталями задаются сроками выполнения :

i	ai	bi	ci
1	7	6	4
2	11	5	12
3	8	3	7
4	7	5	8
5	6	3	3

Условие , например, выполняется. Таким образом, мы имеем:

i	ai	bi	ci	ai+ bi	bi+ ci
1	7	6	4	13	10
2	11	5	12	16	17
3	8	3	7	11	10
4	7	5	8	12	13
5	6	3	3	9	6

и алгоритм Джонсона позволяет выбрать =(4, 2, 3, 1, 5).